Examkin

Question

Difficulty: Very hardOran Tahminleyicisinin Varyansı (Hata Karesi Ortalaması) ve Yanlılığı

Bir araştırmada ilgilenilen YY değişkeni ile bu değişkenle ilişkili ve yalnızca pozitif değerler alan bir XX yardımcı değişkeni kullanılarak kitle oranı (R=YˉXˉR = \frac{\bar{Y}}{\bar{X}}) tahmin edilmek istenmektedir. İadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle seçilen nn birimlik örneklemden oran tahminleyicisi (R^=yˉxˉ\hat{R} = \frac{\bar{y}}{\bar{x}}) hesaplanacaktır. Kitleye ait varyasyon katsayıları CxC_x ve CyC_y, değişkenler arası korelasyon katsayısı ise ρ\rho'dur.

Oran tahminleyicisinin varyans, hata karesi ortalaması (HKO) ve yanlılık (bias) özellikleri dikkate alındığında;

I. Kitle düzeyinde ρ=CxCy\rho = \frac{C_x}{C_y} eşitliğinin sağlanması durumunda, oran tahminleyicisinin birinci mertebeden Taylor serisi yaklaşımıyla elde edilen yanlılığı sıfır olur.
II. R^\hat{R} tahminleyicisinin yanlılığı ile R^\hat{R} istatistiği ve xˉ\bar{x} örneklem ortalaması arasındaki kovaryans (Cov(R^,xˉ)\text{Cov}(\hat{R}, \bar{x})) değeri daima zıt işaretlidir.
III. Oran tahminleyicisi (R^\hat{R}), örneklem hacmi ne olursa olsun daima yansız bir tahminleyici olduğundan, Hata Karesi Ortalaması (HKO) ile varyansı teorik olarak birbirine eşittir.

ifadelerinden hangisi veya hangileri kesinlikle doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. I ve IIAnswer
  4. D
    I ve III
  5. E
    II ve III

Answer

I ve II numaralı ifadeleri içeren seçenek doğrudur.
Oran tahminleyicisinin birinci mertebeden Taylor serisi yaklaşımıyla elde edilen yanlılık formülü Bias(R^)≈1−fnR(Cx2−ρCxCy)Bias(\hat{R}) \approx \frac{1-f}{n} R (C_x^2 - \rho C_x C_y) şeklindedir ve ρ=Cx/Cy\rho = C_x/C_y koşulunda parantez içi sıfırlandığı için bu değer sıfıra eşit olur (I numaralı ifade doğrudur). Matematiksel olarak Cov(R^,xˉ)=E(R^xˉ)−E(R^)E(xˉ)=Yˉ−E(R^)Xˉ\text{Cov}(\hat{R}, \bar{x}) = E(\hat{R}\bar{x}) - E(\hat{R})E(\bar{x}) = \bar{Y} - E(\hat{R})\bar{X} eşitliği düzenlendiğinde, Bias(R^)=−Cov(R^,xˉ)XˉBias(\hat{R}) = - \frac{\text{Cov}(\hat{R}, \bar{x})}{\bar{X}} elde edilir; yardımcı değişken pozitif değerler aldığı için Xˉ>0\bar{X} > 0'dır ve bu iki değer daima zıt işaretli olmak zorundadır (II numaralı ifade doğrudur). Ancak oran tahminleyicisi doğası gereği yanlı bir tahminleyicidir (sadece asimptotik yansızdır); bu nedenle Hata Karesi Ortalaması (HKO), varyansı ile yanlılığın karesinin toplamına eşittir ve HKO teorik olarak varyansa daima eşit olmaz (III numaralı ifade yanlıştır).

Step-by-Step Solution

1
Oran tahminleyicisinin yanlılığı için birinci mertebeden Taylor serisi yaklaşımı formülünü yazıp incelemek.
Bias(R^)≈1−fnR(Cx2−ρCxCy)Bias(\hat{R}) \approx \frac{1-f}{n} R (C_x^2 - \rho C_x C_y) eşitliği elde edilir.
I. ifadedeki kitle parametreleri (ρ,Cx,Cy\rho, C_x, C_y) koşulunun yanlılık üzerindeki etkisini matematiksel olarak görmek için.
2
Yaklaşım formülünde ρ=CxCy\rho = \frac{C_x}{C_y} koşulunu yerine koymak.
Formüldeki parantez içi ifade Cx2−(CxCy)CxCy=Cx2−Cx2=0C_x^2 - (\frac{C_x}{C_y}) C_x C_y = C_x^2 - C_x^2 = 0 olur. Dolayısıyla yanlılık yaklaşımı sıfıra eşit çıkar. (I. ifade kesinlikle doğrudur).
Belirtilen koşulun oran tahminleyicisinin yanlılığını sıfırlayıp sıfırlamadığını doğrulamak için.
3
Oran tahminleyicisi R^\hat{R} ile paydadaki xˉ\bar{x} istatistiği arasındaki kovaryans ilişkisini türetmek.
R^=yˉxˉ  ⟹  yˉ=R^xˉ\hat{R} = \frac{\bar{y}}{\bar{x}} \implies \bar{y} = \hat{R}\bar{x} olur. Her iki tarafın beklenen değeri alınırsa: E(yˉ)=E(R^xˉ)E(\bar{y}) = E(\hat{R}\bar{x}). Kovaryans tanımından Cov(R^,xˉ)=E(R^xˉ)−E(R^)E(xˉ)\text{Cov}(\hat{R}, \bar{x}) = E(\hat{R}\bar{x}) - E(\hat{R})E(\bar{x}) eşitliği yazılır.
II. ifadede iddia edilen kovaryans ve yanlılık ilişkisinin teorik altyapısını oluşturmak için.
4
Kovaryans formülünü düzenleyerek yanlılık (Bias(R^)=E(R^)−RBias(\hat{R}) = E(\hat{R}) - R) terimini yalnız bırakmak.
Yˉ=Cov(R^,xˉ)+E(R^)Xˉ\bar{Y} = \text{Cov}(\hat{R}, \bar{x}) + E(\hat{R})\bar{X} elde edilir. Eşitlik Xˉ\bar{X}'e bölündüğünde R=Cov(R^,xˉ)Xˉ+E(R^)R = \frac{\text{Cov}(\hat{R}, \bar{x})}{\bar{X}} + E(\hat{R}) bulunur. Buradan Bias(R^)=E(R^)−R=−Cov(R^,xˉ)XˉBias(\hat{R}) = E(\hat{R}) - R = -\frac{\text{Cov}(\hat{R}, \bar{x})}{\bar{X}} sonucu çıkar.
Yanlılık ile kovaryans arasındaki matematiksel ilişkiyi kesin olarak ispatlamak için.
5
Kovaryans-Yanlılık formülündeki işaret ilişkisini ve III. ifadedeki yansızlık durumunu değerlendirmek.
XX değişkeni sadece pozitif değerler aldığından Xˉ>0\bar{X} > 0'dır. Eşitliğin sağındaki negatif işaret nedeniyle Bias(R^)Bias(\hat{R}) ile Cov(R^,xˉ)\text{Cov}(\hat{R}, \bar{x}) daima zıt işaretlidir (II. ifade kesinlikle doğrudur). Diğer yandan oran tahminleyicisi genelde yanlıdır, dolayısıyla HKO(R^)=Varyans(R^)+[Bias(R^)]2HKO(\hat{R}) = Varyans(\hat{R}) + [Bias(\hat{R})]^2 eşitliği gereği HKO ile varyans birbirine eşit olmaz (III. ifade yanlıştır).
II. ve III. ifadelerin nihai doğruluk kararlarını vermek için.

Key Concept

Oran Tahminleyicisinin Varyansı ve Yanlılığı (Teorik Özellikleri)
Rate this question

Topics

Oran Tahminleyicisinin Varyansı (Hata Karesi Ortalaması) ve Yanlılığı