Examkin

Question

Difficulty: MediumPoisson Süreci

Bir ilçe nüfus müdürlüğüne pasaport işlemi için gelen randevusuz vatandaşların gelişleri, saatte ortalama λ=3\lambda = 3 kişi oranıyla bir Poisson süreci, {N(t),t≥0}\{N(t), t \geq 0\}, olarak modellenmektedir.

Buna göre, bu süreçle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

  1. A
    Herhangi bir 22 saatlik zaman diliminde tam olarak 44 vatandaş gelme olasılığı e−3344!\frac{e^{-3}3^4}{4!} formülü ile hesaplanır.
  2. B
    Ardışık iki vatandaşın gelişleri arasında geçen süre, beklenen değeri 33 saat olan üstel dağılıma sahiptir.
  3. C
    Sürecin herhangi bir tt zaman aralığındaki olay sayısının varyansı 3t23t^2'dir.
  4. D
    Ayrık zaman aralıkları olan 09:00-10:00 ile 10:00-12:00 saatleri arasında kuruma gelen vatandaş sayıları birbiriyle bağımlı rastgele değişkenlerdir.
  5. Sürecin ilk bir saati içinde tam olarak 22 vatandaş gelmiş olması koşuluyla, başlangıçtan itibaren ilk üç saatin sonuna kadar toplam 55 vatandaş gelmiş olma olasılığı e−6633!\frac{e^{-6}6^3}{3!}'tür.Answer

Answer

Doğru ifade, sürecin bağımsız ve durağan artışlar özelliğini doğru şekilde uygulayan ve koşullu olasılığı e−6633!\frac{e^{-6}6^3}{3!} olarak veren ifadedir.
Poisson süreci bağımsız ve durağan artışlar özelliklerine sahiptir. İstenen durum P(N(3)=5∣N(1)=2)P(N(3)=5 | N(1)=2) şeklinde ifade edilebilir. Bağımsız artışlar özelliği gereği, ayrık aralıklar olan (0,1](0, 1] ve (1,3](1, 3] birbirini etkilemez; yani N(3)−N(1)N(3)-N(1) ile N(1)N(1) bağımsızdır. Bu yüzden ifade P(N(3)−N(1)=3)P(N(3)-N(1)=3) olasılığına dönüşür. Durağan artışlar özelliği gereği bu, 2 saatlik herhangi bir aralıkta 3 kişi gelme olasılığına, yani P(N(2)=3)P(N(2)=3)'e eşittir. Oran parametresi 2 saat için λt=3×2=6\lambda t = 3 \times 2 = 6 olacağından, Poisson olasılık formülü ile sonuç e−6633!\frac{e^{-6}6^3}{3!} olarak doğru şekilde bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Koşullu olasılık ifadesindeki aralıkları ve olay sayılarını tanımlama.
İstenen olasılık P(N(3)=5∣N(1)=2)P(N(3)=5 | N(1)=2) şeklinde yazılır. Bu ifade P(N(3)−N(1)=3∣N(1)=2)P(N(3)-N(1)=3 | N(1)=2) ile aynı anlama gelir.
İlk bir saatte 2 kişi geldiğine göre, toplamda 5 kişi olması için sonraki 2 saatlik zaman diliminde tam olarak 3 kişinin gelmesi gerekmektedir.
2
Poisson sürecinin bağımsız artışlar özelliğini uygulama.
N(3)−N(1)N(3)-N(1) rastgele değişkeni ile N(1)N(1) rastgele değişkeni birbirinden bağımsızdır. Bu nedenle koşul düşer: P(N(3)−N(1)=3)P(N(3)-N(1)=3).
(0,1](0, 1] aralığı ile (1,3](1, 3] aralığı birbiriyle kesişmeyen ayrık zaman aralıklarıdır.
3
Durağan artışlar özelliğini ve ölçeklenmiş oran parametresini kullanarak olasılığı hesaplama.
2 saatlik aralık için yeni ortalama λt=3×2=6\lambda t = 3 \times 2 = 6'dır. Formül uygulanırsa: P(N(2)=3)=e−6633!P(N(2)=3) = \frac{e^{-6}6^3}{3!} sonucu elde edilir.
N(3)−N(1)N(3)-N(1)'in dağılımı N(2)N(2)'nin dağılımı ile aynıdır ve 66 parametreli Poisson dağılımına uyar.

Key Concept

Poisson Süreci Özellikleri (Bağımsız Artışlar, Durağan Artışlar, Beklenen Değer ve Varyans)
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Poisson Süreci

More questions from this topic