Examkin

Question

Difficulty: HardLehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici)
Bir makine öğrenmesi algoritmasının ürettiği güven skorları, (0,1)(0, 1) aralığında değerler almaktadır. Bu skorların, olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x;θ)=θxθ−1,0<x<1,θ>0f(x; \theta) = \theta x^{\theta - 1}, \quad 0 < x < 1, \quad \theta > 0 olan bir dağılıma uyduğu varsayılmaktadır. Bu dağılımdan alınan nn (n>1n > 1) hacimli rastgele bir örneklem X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n olarak verilmiştir.

Buna göre, θ\theta parametresi için Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    n−∑i=1nln⁡(Xi)\frac{n}{-\sum_{i=1}^n \ln(X_i)}
  2. B
    Xˉ1−Xˉ\frac{\bar{X}}{1-\bar{X}}
  3. n−1−∑i=1nln⁡(Xi)\frac{n-1}{-\sum_{i=1}^n \ln(X_i)}Answer
  4. D
    −∑i=1nln⁡(Xi)-\sum_{i=1}^n \ln(X_i)
  5. E
    −1n∑i=1nln⁡(Xi)-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \ln(X_i)

Answer

Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE), tam ve yeterli istatistiğin yansızlaştırılmış bir fonksiyonu olan n−1−∑i=1nln⁡(Xi)\frac{n-1}{-\sum_{i=1}^n \ln(X_i)} ifadesidir.
Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonu üstel aileye aittir. Neyman çarpanlara ayırma teoreminden, T=−∑i=1nln⁡(Xi)T = -\sum_{i=1}^n \ln(X_i) istatistiğinin parametre için tam ve yeterli olduğu görülür. Her bir XiX_i değişkeni için Yi=−ln⁡(Xi)Y_i = -\ln(X_i) dönüşümü yapıldığında, YiY_i'nin oran parametresi θ\theta olan üstel dağılıma (veya Gamma(1, θ\theta)) sahip olduğu bulunur. Bu değişkenlerin toplamı olan TT istatistiği Gamma(nn, θ\theta) dağılımına uyar. θ\theta parametresinin yansız bir tahmin edicisini bulmak için TT'nin tersinin beklenen değeri E[1/T]E[1/T] hesaplanır. İntegral çözüldüğünde E[1/T]=θn−1E[1/T] = \frac{\theta}{n-1} elde edilir. Her iki taraf (n−1)(n-1) ile çarpılarak E[n−1T]=θE\left[\frac{n-1}{T}\right] = \theta eşitliği sağlanır. Tam ve yeterli istatistiğin yansız bir fonksiyonu bulunduğu için, Lehmann-Scheffe teoremine göre bu ifade θ\theta'nın Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edicisidir (UMVUE).

Step-by-Step Solution

1
Olabilirlik fonksiyonunu yazarak yeterli istatistiği belirleme
L(θ)=θn(∏Xi)θ−1=θne(θ−1)∑ln⁡(Xi)L(\theta) = \theta^n (\prod X_i)^{\theta-1} = \theta^n e^{(\theta-1)\sum \ln(X_i)}. Neyman çarpanlara ayırma teoremine göre T=−∑i=1nln⁡(Xi)T = -\sum_{i=1}^n \ln(X_i) tam ve yeterli istatistiktir.
Lehmann-Scheffe teoremini uygulayabilmek için öncelikle dağılımın üstel ailesinden olduğunu gösterip tam ve yeterli istatistiği bulmak gerekir.
2
Yeterli istatistiğin olasılık dağılımını elde etme
Yi=−ln⁡(Xi)Y_i = -\ln(X_i) dönüşümü yapıldığında Yi∼U¨stel(θ)Y_i \sim \text{Üstel}(\theta) (oran parametresi θ\theta) olur. Bu durumda bağımsız toplamlar olan T=∑Yi∼Gamma(n,θ)T = \sum Y_i \sim \text{Gamma}(n, \theta) dağılımına uyar.
Yeterli istatistiğin beklenen değerini hesaplayabilmek ve yansız bir tahmin edici formüle edebilmek için TT'nin örneklem dağılımının bilinmesi şarttır.
3
θ\theta için yansız bir fonksiyon oluşturmak adına E[1/T]E[1/T] değerini hesaplama
E[T−1]=∫0∞1tθnΓ(n)tn−1e−θtdt=θ(n−1)  ⟹  E[n−1T]=θE[T^{-1}] = \int_0^\infty \frac{1}{t} \frac{\theta^n}{\Gamma(n)} t^{n-1} e^{-\theta t} dt = \frac{\theta}{(n-1)} \implies E\left[\frac{n-1}{T}\right] = \theta
Lehmann-Scheffe teoremine göre tam ve yeterli istatistiğin (TT) yansız olan herhangi bir fonksiyonu tek ve benzersiz UMVUE'dir.
4
Lehmann-Scheffe teoremi ile sonucu kesinleştirme
n−1−∑i=1nln⁡(Xi)\frac{n-1}{-\sum_{i=1}^n \ln(X_i)} ifadesi tam ve yeterli istatistiğe bağlı yansız bir tahmin edici olduğundan θ\theta'nın UMVUE'sidir.
Teorem gereği, tam ve yeterli istatistiğin yansız bir fonksiyonu varyansı en küçük yapan tek tahmin edicidir.

Key Concept

Lehmann-Scheffe Teoremi kullanılarak Üstel Aileden türetilen tam ve yeterli istatistiğin yansızlaştırılmasıyla UMVUE elde edilmesi.
Rate this question

Topics

Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici)

More questions from this topic