Bir kimyasal üretim tesisinde, reaktördeki aktif maddenin hedef derişimden sapma miktarı X… — KPSS İstatistik

Bir kimyasal üretim tesisinde, reaktördeki aktif maddenin hedef derişimden sapma miktarı $X$ sürekli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f_X(x) = \begin{cases} \frac{3}{4}(1 - x^2), & -1 \leq x \leq 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Kalite kontrol standartlarına göre, üründeki toplam tolerans kaybı $Y = X^2$ dönüşümü ile hesaplanmaktadır.

Buna göre, toplam tolerans kaybını ifade eden $Y$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y)$ aşağıdakilerden hangisidir? (Aşağıdaki tüm fonksiyonların $0 < y < 1$ aralığında tanımlı olduğu varsayılacaktır.)

$\frac{3(1-y)}{4\sqrt{y}}$ Answer
B
$\frac{3(1-y)}{8\sqrt{y}}$
C
$\frac{3}{4}(1-y)$
D
$\frac{3}{4}(1-y^2)$
E
$\frac{3}{2}(1-y)$

Answer

Doğru olasılık yoğunluk fonksiyonu, CDF yöntemi adımları tam ve eksiksiz uygulandığında elde edilen

\frac{3(1-y)}{4\sqrt{y}}

ifadesidir.

Verilen

Y = X^2

dönüşümünde

X

-1

ile

1

arasında değer alan simetrik bir dağılımdır. Birikimli dağılım fonksiyonu

F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y) = P(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y})

olarak yazılır. Bu ifadenin

y

'ye göre türevi alındığında, zincir kuralı gereği

f_Y(y) = f_X(\sqrt{y}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} + f_X(-\sqrt{y}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}}

halini alır. Orijinal PDF olan

f_X(x) = \frac{3}{4}(1 - x^2)

fonksiyonunda

x

yerine

\pm\sqrt{y}

konulduğunda her iki terim de

\frac{3}{4}(1 - y)

sonucunu verir. Bu ifadeler toplanıp zincir kuralından gelen çarpanla düzenlendiğinde doğru sonuç

\frac{3(1-y)}{4\sqrt{y}}

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

Y

rastgele değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonunu (CDF)

X

'in cinsinden ifade etmek.

F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y) = P(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y})

elde edilir.

Y = X^2

dönüşümü bire-bir (monoton) olmadığından, her bir

y

değeri

x

'in iki farklı değerine (

\pm \sqrt{y}

) karşılık gelmektedir.

F_Y(y)

fonksiyonunu

X

'in birikimli dağılımı (

F_X

) cinsinden yazmak.

F_Y(y) = F_X(\sqrt{y}) - F_X(-\sqrt{y})

eşitliği kurulur.

Belirli bir aralıktaki olasılık hesabı, o değişkenin üst sınırdaki CDF değerinden alt sınırdaki CDF değerinin çıkarılmasıyla bulunur.

F_Y(y)

'nin

y

'ye göre türevini alarak olasılık yoğunluk fonksiyonunu (

f_Y(y)

) bulmak.

f_Y(y) = f_X(\sqrt{y}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} - f_X(-\sqrt{y}) \cdot \left(-\frac{1}{2\sqrt{y}}\right) = \frac{1}{2\sqrt{y}} \left[ f_X(\sqrt{y}) + f_X(-\sqrt{y}) \right]

. Verilen

f_X(x)

yerine yazıldığında;

f_Y(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}} \left[ \frac{3}{4}(1 - y) + \frac{3}{4}(1 - y) \right] = \frac{3(1-y)}{4\sqrt{y}}

bulunur.

Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu (PDF), o değişkenin birikimli dağılım fonksiyonunun (CDF) türevi alınarak elde edilir. Burada zincir kuralı (içinin türevi) uygulanması kritik adımdır.

Key Concept

Dağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi ile Monoton Olmayan Dönüşümler

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics