Bir endüstriyel malzemenin kırılma testinde uygulanan basınca karşı gösterdiği esneklik ka… — KPSS İstatistik

Bir endüstriyel malzemenin kırılma testinde uygulanan basınca karşı gösterdiği esneklik katsayısı, $X$ sürekli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f_X(x) = \begin{cases} \frac{3}{8}x^2, & 0 < x < 2 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu malzemeden üretilen özel bir amortisörün enerji yutma kapasitesi, $Y = (X-1)^2$ dönüşümü ile hesaplanmaktadır.

Buna göre, $Y$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y)$ aşağıdakilerden hangisidir?

$0 < y < 1$ için $\frac{3(1+y)}{8\sqrt{y}}$ Answer
B
$0 < y < 1$ için $\frac{3(1+\sqrt{y})^2}{16\sqrt{y}}$
C
$0 < y < 1$ için $\frac{3}{16}\sqrt{y}$
D
$0 < y < 1$ için $\frac{3(1+\sqrt{y})^2}{8}$
E
$0 < y < 1$ için $\frac{3(1-y)}{8\sqrt{y}}$

Answer

0 < y < 1

aralığı için

\frac{3(1+y)}{8\sqrt{y}}

fonksiyonunu içeren seçenektir.

Dönüşüm

Y=(X-1)^2

olduğu için eşitsizlik

P(1-\sqrt{y} \le X \le 1+\sqrt{y})

şekline dönüşür. Bu aralıkta

f_X(x) = \frac{3}{8}x^2

fonksiyonunun integrali alınarak birikimli dağılım fonksiyonu

F_Y(y) = \frac{3}{4}\sqrt{y} + \frac{1}{4}y\sqrt{y}

olarak bulunur. Bu fonksiyonun

y

'ye göre türevi alındığında ise sonuç

\frac{3(1+y)}{8\sqrt{y}}

olur.

Step-by-Step Solution

Dağılım Fonksiyonunu (CDF) tanımlayın ve eşitsizliği

X

için çözün.

F_Y(y) = P(Y \le y) = P((X-1)^2 \le y) \implies P(-\sqrt{y} \le X-1 \le \sqrt{y}) \implies P(1-\sqrt{y} \le X \le 1+\sqrt{y})

Y=(X-1)^2

monoton bir fonksiyon olmadığı için mutlak değerli eşitsizlik çözümü gerektirir.

Elde edilen eşitsizlik aralığı için

F_Y(y)

integralini kurun.

y \in (0, 1)

için sınırların

(0, 2)

aralığında kaldığı görülür.

F_Y(y) = \int_{1-\sqrt{y}}^{1+\sqrt{y}} \frac{3}{8}x^2 dx

Olasılığı bulmak için

X

'in yoğunluk fonksiyonunun belirlenen sınırlar arasında integrali alınmalıdır.

İntegrali hesaplayarak birikimli dağılım fonksiyonunu bulun.

F_Y(y) = \frac{1}{8} \left[ \frac{x^3}{3} \cdot 3 \right]_{1-\sqrt{y}}^{1+\sqrt{y}} = \frac{1}{8} [x^3]_{1-\sqrt{y}}^{1+\sqrt{y}}

. Fark alındığında:

\frac{1}{8} [(1+\sqrt{y})^3 - (1-\sqrt{y})^3] = \frac{3}{4}\sqrt{y} + \frac{1}{4}y\sqrt{y}

Küp açılımları farkı

[(1+3\sqrt{y}+3y+y\sqrt{y}) - (1-3\sqrt{y}+3y-y\sqrt{y})]

ile

6\sqrt{y} + 2y\sqrt{y}

sonucuna ulaşılır.

F_Y(y)

'nin

y

'ye göre türevini alarak olasılık yoğunluk fonksiyonunu (

f_Y(y)

) elde edin.

f_Y(y) = \frac{d}{dy}(\frac{3}{4}y^{1/2} + \frac{1}{4}y^{3/2}) = \frac{3}{8}y^{-1/2} + \frac{3}{8}y^{1/2} = \frac{3(1+y)}{8\sqrt{y}}

Sürekli rastgele değişkenlerde yoğunluk fonksiyonu, birikimli dağılım fonksiyonunun türevidir.

Key Concept

Dağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi ile Değişken Dönüşümü

Alternative Method

Değişken değiştirme (Jakobiyen) yöntemi ile:

Y = (X-1)^2

fonksiyonunun

x_1 = 1-\sqrt{y}

x_2 = 1+\sqrt{y}

olmak üzere iki kökü vardır. İki dal için mutlak türevler

|\frac{dx_1}{dy}| = |\frac{dx_2}{dy}| = \frac{1}{2\sqrt{y}}

'dir.

f_Y(y) = f_X(x_1)|\frac{dx_1}{dy}| + f_X(x_2)|\frac{dx_2}{dy}|

formülüne değerler konularak da aynı PDF elde edilir.

Estimated Time:2m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Topics