Examkin

Question

Difficulty: MediumÖzdeğerler ve Özvektörlerin Özellikleri

Bir araştırmacı, 3 değişkene ait bir veri seti üzerinden Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamaktadır. Bu analizde kullanılan 3×33 \times 3 boyutlu varyans-kovaryans matrisinin izi (trace) 10, determinantı ise 24 olarak hesaplanmıştır. Elde edilen özvektörlerin birbirine dik (ortogonal) ve birim uzunlukta olduğu bu analizde, matrisin en büyük özdeğeri λ1=6\lambda_1 = 6 olarak bulunmuştur.

Buna göre, matrisin en küçük özdeğeri (λ3\lambda_3) ve birinci temel bileşenin toplam varyansı açıklama oranı sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?
(Özdeğerlerin λ1≥λ2≥λ3\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \lambda_3 şeklinde sıralandığı varsayılacaktır.)

  1. A
    4 ve %60
  2. B
    2 ve %25
  3. 2 ve %60Answer
  4. D
    4 ve %25
  5. E
    2 ve %20

Answer

Matrisin en küçük özdeğeri 2 ve birinci temel bileşenin açıkladığı varyans oranı %60'tır.
Varyans-kovaryans matrisinin izi (trace), özdeğerlerin toplamına eşittir ve analizdeki toplam varyansı ifade eder (10=6+λ2+λ310 = 6 + \lambda_2 + \lambda_3). Matrisin determinantı ise özdeğerlerin çarpımına eşittir (24=6×λ2×λ324 = 6 \times \lambda_2 \times \lambda_3). Bu denklemlerden λ2+λ3=4\lambda_2 + \lambda_3 = 4 ve λ2×λ3=4\lambda_2 \times \lambda_3 = 4 bulunur. Bu eşitlikleri sağlayan tek durum λ2=2\lambda_2 = 2 ve λ3=2\lambda_3 = 2 olmasıdır, dolayısıyla en küçük özdeğer 2'dir. Birinci temel bileşenin açıkladığı varyans oranı, en büyük özdeğerin (λ1=6\lambda_1 = 6) toplam varyansa (iz = 10) bölünmesiyle hesaplanır: 6/10=0,606 / 10 = 0,60 (%60).

Step-by-Step Solution

1
Matrisin izini ve determinantını kullanarak kalan özdeğerlerin toplamını ve çarpımını belirlemek.
λ2+λ3=4\lambda_2 + \lambda_3 = 4 ve λ2×λ3=4\lambda_2 \times \lambda_3 = 4
Özdeğerlerin toplamı matrisin izine (10), çarpımı ise matrisin determinantına (24) eşittir. λ1=6\lambda_1 = 6 olduğu için geriye kalanların toplamı 10−6=410 - 6 = 4, çarpımı ise 24/6=424 / 6 = 4 olur.
2
Bulunan denklemlerden en küçük özdeğeri hesaplamak.
λ3=2\lambda_3 = 2
Toplamları 4 ve çarpımları 4 olan iki sayı ancak 2 ve 2'dir. Bu nedenle λ2=2\lambda_2 = 2 ve λ3=2\lambda_3 = 2 olur.
3
Birinci temel bileşenin açıkladığı varyans oranını bulmak.
%60
Bir bileşenin açıkladığı varyans oranı, kendi özdeğerinin toplam varyansa (matrisin izine) bölünmesiyle elde edilir: 6/10=0,606 / 10 = 0,60 (%60).

Key Concept

Temel Bileşenler Analizinde matris izinin (toplam varyans) ve determinantının özdeğerlerle ilişkisi
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Özdeğerler ve Özvektörlerin Özellikleri

More questions from this topic