Examkin

Question

Difficulty: HardPoisson Dağılımı

Bir hava trafik kontrol merkezinde, belirli bir uçuş rotasından geçen izinsiz drone uçuşlarının sayısı Poisson dağılımına uymaktadır. Bu rotada 20 dakikalık bir zaman diliminde tespit edilen izinsiz uçuş sayısının standart sapması 2\sqrt{2} olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, bu rotada 1 saatlik bir süre zarfında tespit edilen izinsiz drone uçuşu sayısının, o süre için beklenen uçuş sayısının tam yarısı kadar olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 36e−636e^{-6}Answer
  2. B
    18e−618e^{-6}
  3. C
    6e−66e^{-6}
  4. D
    43e−2\frac{4}{3}e^{-2}
  5. E
    2e−22e^{-2}

Answer

İstenen olasılık 36e−636e^{-6} olarak hesaplanır.
Poisson dağılımının en ayırt edici özelliklerinden biri, beklenen değeri ile varyansının birbirine eşit olmasıdır (E(X)=Var(X)=λE(X) = Var(X) = \lambda). Soruda 20 dakikalık süre için standart sapma 2\sqrt{2} olarak verilmiştir. Buradan varyansın (2)2=2(\sqrt{2})^2 = 2 olduğu, dolayısıyla 20 dakikalık oran parametresinin λ=2\lambda = 2 olduğu bulunur. İstenilen olasılık 1 saatlik (60 dakikalık) bir süre içindir. Zaman aralığı 3 katına çıktığı için yeni Poisson parametresi λyeni=2×3=6\lambda_{yeni} = 2 \times 3 = 6 olacaktır. Bu 1 saatlik aralıkta beklenen drone uçuş sayısı da 6'dır. Soru, gerçekleşen uçuş sayısının bu beklenen değerin tam yarısı (6/2=36 / 2 = 3) olma olasılığını sormaktadır. Poisson olasılık kütle fonksiyonu P(X=k)=e−λλkk!P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} formülü kullanılarak P(X=3)=e−6633!=36e−6P(X=3) = \frac{e^{-6} 6^3}{3!} = 36e^{-6} sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
20 dakikalık zaman dilimi için Poisson parametresinin (λ\lambda) belirlenmesi
Standart sapma = 2\sqrt{2}   ⟹  \implies Varyans = 22. Poisson dağılımında Varyans = E(X)=λE(X) = \lambda olduğundan, 20 dakikalık süre için λ=2\lambda = 2 bulunur.
Poisson dağılımının temel özelliğinden yararlanarak varyans üzerinden ortalama oran parametresini bulmak.
2
1 saatlik (60 dakikalık) zaman dilimi için parametrenin (λyeni\lambda_{yeni}) ölçeklenmesi
1 saat içerisinde üç adet 20 dakikalık dilim olduğu için, λyeni=2×3=6\lambda_{yeni} = 2 \times 3 = 6 olarak hesaplanır.
Poisson sürecinde oran parametresi, zaman aralığının uzunluğu ile doğru orantılı olarak değişir.
3
Soruda istenen hedef olay sayısının (kk) hesaplanması
1 saatlik süre için beklenen uçuş sayısı λyeni=6\lambda_{yeni} = 6'dır. Bunun tam yarısı istendiği için aranan sayı k=6/2=3k = 6 / 2 = 3 olur.
Soruda belirtilen 'o süre için beklenen uçuş sayısının tam yarısı' koşulunu matematiksel ifadeye dönüştürmek.
4
Poisson olasılık kütle fonksiyonunun uygulanması
P(X=3)=e−6⋅633!=e−6⋅2166=36e−6P(X = 3) = \frac{e^{-6} \cdot 6^3}{3!} = \frac{e^{-6} \cdot 216}{6} = 36e^{-6} elde edilir.
Bulunan parametre (λ=6\lambda=6) ve istenilen x değeri (k=3k=3) ile son olasılığı hesaplamak.

Key Concept

Poisson dağılımında varyans-beklenen değer eşitliği ve parametrenin zamana göre ölçeklenmesi (Homojen Poisson Süreci)
Rate this question

Topics

Poisson Dağılımı

More questions from this topic