Poisson Dağılımı Practice Questions — KPSS İstatistik

Question 1Question →

Bir kamu kurumunun bilgi işlem merkezine gelen sunucu hata bildirimlerinin sayısı Poisson dağılımına uymaktadır. Yapılan geriye dönük incelemelerde, herhangi bir 2 saatlik zaman diliminde gelen bildirim sayısının varyansının 6 olduğu tespit edilmiştir.

Kurumun hizmet seviyesi anlaşmasına (SLA) göre, 3 saatlik bir mesai diliminde gelen toplam bildirim sayısı (

Y

) üzerinden hesaplanan ve adam-saat cinsinden ifade edilen operasyonel maliyet fonksiyonu

M(Y) = 2Y^2 - 5Y + 10

olarak modellenmiştir.

Buna göre, 3 saatlik bir mesai dilimi için beklenen operasyonel maliyet $E[M(Y)]$ aşağıdakilerden hangisidir?

30

64

127

145

289

Show answer & explanation

Answer: 145

Answer

145

Poisson dağılımının temel özelliği gereği varyans, beklenen değere eşittir. Bu nedenle 2 saatlik periyot için

\lambda_2 = 6

'dır. Zaman ölçeklemesi yapıldığında 3 saatlik periyot için orantı kurularak

Y

'nin parametresi

\lambda = 9

bulunur. Maliyet fonksiyonunun beklenen değerini bulmak için

E[Y^2]

değerine ihtiyaç vardır. Varyans formülünden

E[Y^2] = Var(Y) + (E[Y])^2 = 9 + 81 = 90

olarak elde edilir. Son adımda beklenen değerin doğrusallık özelliği kullanılarak

E[2Y^2 - 5Y + 10] = 2(90) - 5(9) + 10 = 145

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

2 saatlik periyot için Poisson parametresini belirleme

2 saatlik bildirim sayısına

X_2

dersek,

Var(X_2) = 6

verilmiştir. Poisson dağılımında

E[X] = Var(X)

olduğundan, 2 saatlik parametre

\lambda_2 = 6

olarak bulunur.

Poisson dağılımının en temel yapısal özelliği olan ortalama ve varyans eşitliğini kurmak.

2

3 saatlik mesai dilimi için parametreyi (

\lambda_3

) ölçekleme

1 saatlik ortalama olay sayısı

6 / 2 = 3

'tür. 3 saatlik periyottaki olay sayısı

Y

için parametre

\lambda_3 = 3 \times 3 = 9

olur.

Poisson sürecinde beklenen olay sayısının zaman periyoduyla doğrudan (lineer) orantılı olması.

3

Y

rassal değişkeni için ikinci momenti (

E[Y^2]

) hesaplama

Y \sim Poisson(9)

olduğundan

E[Y] = 9

ve

Var(Y) = 9

'dur. Varyans formülünden yola çıkarak

E[Y^2] = Var(Y) + (E[Y])^2 = 9 + 9^2 = 90

elde edilir.

Maliyet fonksiyonundaki karesel terimin (

Y^2

) beklenen değerini doğru bir şekilde bulabilmek.

4

Beklenen maliyet fonksiyonunu (

E[M(Y)]

) çözme

E[2Y^2 - 5Y + 10] = 2E[Y^2] - 5E[Y] + 10 = 2(90) - 5(9) + 10 = 180 - 45 + 10 = 145

sonucuna ulaşılır.

Beklenen değer operatörünün doğrusallık (linearite) özelliğini kullanarak parçalı hesaplamaları birleştirmek.

Key Concept

Poisson Sürecinde Zaman Ölçeklemesi ve İkinci Moment Aracılığıyla Beklenen Değer Hesabı

Estimated Time:3m 0s

Question 2Question →

Bir Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) il müdürlüğüne, yaşlılık aylığı ve malullük aylığı bağlatmak amacıyla yapılan günlük başvuru sayıları, sırasıyla günde ortalama $6$ ve $4$ olan bağımsız Poisson dağılımlarına uymaktadır.

Herhangi bir $t$ günlük periyotta kuruma yapılan toplam başvuru sayısının (yaşlılık ve malullük aylığı toplamı) varyansı $V(t)$ ile gösterilmektedir.

Buna göre; $5$ günlük bir çalışma haftasında kuruma yapılan toplam başvuru sayısının varyansı $V(5)$ ile; raporlanan tek bir mesai gününde kuruma toplam $5$ başvuru yapıldığı bilindiğine göre, bu başvurulardan en az $4$ 'ünün yaşlılık aylığı talebi olma olasılığı aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

50

ve

\frac{1053}{3125}

10

ve

\frac{1053}{3125}

250

ve

\frac{1053}{3125}

50

ve

\frac{810}{3125}

50

ve

\frac{648}{3125}

Show answer & explanation

Answer: $50$ ve $\frac{1053}{3125}$

Answer

5 günlük toplam başvurunun varyansının 50 ve koşullu olasılığın

\frac{1053}{3125}

olduğu seçenek doğrudur.

Beş günlük zaman aralığı için Poisson oran parametresi 5 katına çıkacağından

V(5) = 5 \times 10 = 50

olmalıdır. Ayrıca, iki bağımsız Poisson sürecinin toplamı verildiğinde bileşenlerden birinin koşullu olasılık dağılımı Binom'dur. Deneme sayısının

n=5

, başarı olasılığının

\frac{6}{10} = \frac{3}{5}

olduğu Binom dağılımında

P(X \geq 4)

kümülatif olasılığı hesaplandığında doğru ihtimal

\frac{1053}{3125}

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Günlük toplam başvurunun dağılımını ve parametresini belirleme.

Bağımsız iki Poisson değişkeninin toplamı da Poisson dağılır:

\lambda_{toplam} = \lambda_{yaşlılık} + \lambda_{malullük} = 6 + 4 = 10

.

Bağımsız Poisson süreçlerinin toplanabilirlik özelliğini uygulamak.

2

5 günlük periyottaki varyansı (

V(5)

) hesaplama.

5 gün için oran parametresi

\lambda_5 = 5 \times 10 = 50

olur. Poisson dağılımında varyans beklenen değere eşit olduğundan

V(5) = 50

olarak bulunur.

Poisson dağılımında varyansın oran (lambda) parametresiyle aynı olması ve zamanla doğrusal ölçeklenmesi ilkesini kullanmak.

3

Toplam başvuru sayısı bilindiğinde yaşlılık aylığı başvuru sayısının koşullu olasılık dağılımını kurma.

İki bağımsız Poisson süreci bilinen bir toplama ulaştığında koşullu dağılım Binom olur. Başarı olasılığı

p = \frac{\lambda_{yaşlılık}}{\lambda_{toplam}} = \frac{6}{10} = 0.6 = \frac{3}{5}

, deneme sayısı

n = 5

'tir.

İlgili koşullu olasılığın

Binom(n, p)

dağılımına uyduğu kuramsal teoremi işleme dahil etmek.

4

Kurulan

Binom(5, \frac{3}{5})

dağılımında "en az 4" başarı olasılığını hesaplama.

P(X \geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5)

.

P(X = 4) = \binom{5}{4}(\frac{3}{5})^4(\frac{2}{5})^1 = 5 \times \frac{81}{625} \times \frac{2}{5} = \frac{810}{3125}

.

P(X = 5) = \binom{5}{5}(\frac{3}{5})^5(\frac{2}{5})^0 = 1 \times \frac{243}{3125} \times 1 = \frac{243}{3125}

.
İkisinin toplamı

\frac{1053}{3125}

elde edilir.

İstenen olayın birikimli (kümülatif) olasılığını ilgili ayrık değerler için toplamak.

Key Concept

İki Bağımsız Poisson Sürecinin Toplamı ve Koşullu Olasılığı (Binom Dağılımına Dönüşüm)

Question 3Question →

Bir vergi dairesi başkanlığının çağrı merkezine yapılan asılsız ihbar aramalarının sayısı Poisson dağılımına uymaktadır. Geçmiş verilere dayanılarak yapılan incelemelerde, herhangi bir $2$ saatlik zaman diliminde gelen asılsız ihbar sayısının varyansının $4$ olduğu tespit edilmiştir.

Buna göre, bu çağrı merkezine herhangi bir $3$ saatlik zaman diliminde en fazla $2$ asılsız ihbar gelme olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

13e^{-4}

24e^{-6}

\frac{101}{2}e^{-9}

25e^{-6}

\frac{17}{2}e^{-3}

Show answer & explanation

Answer: $25e^{-6}$

Answer

Doğru cevap

25e^{-6}

'dır.

Soruda verilen varyans değeri Poisson dağılımı özelliği gereği ortalamaya eşittir. Bu nedenle

2

saatlik dilimde

\lambda=4

'tür. Bize

3

saatlik süre sorulduğu için

\lambda

, zamanla doğrusal orantılı şekilde

\lambda = 4 \times (3/2) = 6

olarak güncellenmelidir. En fazla

2

ihbar gelmesi

X \le 2

olayını ifade eder.

P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

değerleri Poisson kütle olasılık fonksiyonu üzerinden hesaplandığında sırasıyla

e^{-6}

,

6e^{-6}

ve

18e^{-6}

değerlerine ulaşılır. Bu olasılıkların toplamı bize doğru sonuç olan

25e^{-6}

değerini verir.

Step-by-Step Solution

1

2

saatlik zaman dilimi için oran parametresini (

\lambda_2

) belirlemek.

\lambda_2 = 4

Poisson dağılımında varyans ile beklenen değer (ortalama) birbirine eşittir (

Var(X) = E(X) = \lambda

).

2

Oran parametresini

3

saatlik zaman dilimine göre oranlayıp ölçeklendirmek.

\lambda_3 = 4 \times \left(\frac{3}{2}\right) = 6

Poisson sürecinde gerçekleşme sayısı, gözlem yapılan zaman aralığının uzunluğu ile doğrusal orantılıdır.

3

En fazla

2

asılsız ihbar gelme olasılığını kümülatif olarak ifade etmek.

P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

"En fazla 2" ifadesi;

0

,

1

ve

2

ihbar gelme olasılıklarının toplamını gerektirir.

4

Olasılık fonksiyonu formülünü

P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^x}{x!}

kullanarak hesaplamayı tamamlamak.

\frac{e^{-6} \cdot 6^0}{0!} + \frac{e^{-6} \cdot 6^1}{1!} + \frac{e^{-6} \cdot 6^2}{2!} = e^{-6}(1 + 6 + 18) = 25e^{-6}

Formüldeki

x

yerine sırasıyla

0

,

1

,

2

değerleri ve

\lambda

yerine

6

yazılarak toplam elde edilir.

Key Concept

Poisson dağılımında varyansın ortalamaya eşit olması durumu ve

\lambda

oran parametresinin sürenin uzunluğuna göre doğrusal bir biçimde ölçeklendirilebilmesi.

Question 4Question →

Bir sınır kapısından geçiş yapan ticari araçlarda tespit edilen eksik belgeli araç sayısının Poisson dağılımına uygun olduğu bilinmektedir. Bu sınır kapısında $8$ saatlik bir mesai süresince tespit edilen eksik belgeli araç sayısının standart sapması $2$ 'dir.

Buna göre, aynı sınır kapısında ardışık $6$ saatlik bir zaman diliminde tam olarak $4$ eksik belgeli araç tespit edilme olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{27}{8}e^{-3}

\frac{32}{3}e^{-4}

\frac{27}{128}e^{-1.5}

\frac{2187}{2048}e^{-2.25}

\frac{15}{64}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{27}{8}e^{-3}$

Answer

İstenen olasılık

\frac{27}{8}e^{-3}

değeridir.

Poisson dağılımında varyans, dağılımın parametresi olan

\lambda

'ya eşittir. Soruda 8 saatlik sürenin standart sapması 2 olarak verilmiştir; bu durumda varyans

2^2 = 4

olur, yani 8 saatlik süreç için

\lambda_8 = 4

'tür. Soruda bizden 6 saatlik süreç için olasılık istendiğinden, beklenen değer orantı kurularak

\lambda_6 = 4 \times (6/8) = 3

şeklinde bulunur. Son adımda

X \sim Poisson(3)

için olasılık fonksiyonu

P(X=4) = \frac{e^{-3} 3^4}{4!} = \frac{81}{24}e^{-3} = \frac{27}{8}e^{-3}

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

8 saatlik zaman dilimi için varyansın hesaplanması.

Var(X_8) = \sigma^2 = 2^2 = 4

Standart sapması

2

olarak verilen dağılımın parametresini bulmak için öncelikle varyansa geçiş yapılmalıdır.

2

8 saatlik Poisson parametresinin (

\lambda_8

) belirlenmesi.

\lambda_8 = 4

Poisson dağılımının en önemli özelliklerinden biri beklenen değerin varyansa eşit olmasıdır (

E(X) = Var(X) = \lambda

).

3

Parametrenin soruda istenen 6 saatlik zaman dilimine ölçeklenmesi.

\lambda_6 = 4 \times \frac{6}{8} = 3

Poisson sürecinde olayların gerçekleşme oranı (

\lambda

) zamanla doğrusal olarak orantılıdır.

4

Bulunan parametre ile 4 araç tespit edilme olasılığının hesaplanması.

P(X = 4) = \frac{e^{-3} \cdot 3^4}{4!} = \frac{e^{-3} \cdot 81}{24} = \frac{27}{8}e^{-3}

Nihai olasılık değerini bulmak için Poisson olasılık kütle fonksiyonu

P(X=x) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}

formülü kullanılmalıdır.

Key Concept

Poisson dağılımında varyans-beklenen değer eşitliği ve parametrenin zamana göre ölçeklenmesi.

Question 5Question →

Bir hava trafik kontrol merkezinde, belirli bir uçuş rotasından geçen izinsiz drone uçuşlarının sayısı Poisson dağılımına uymaktadır. Bu rotada 20 dakikalık bir zaman diliminde tespit edilen izinsiz uçuş sayısının standart sapması $\sqrt{2}$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, bu rotada 1 saatlik bir süre zarfında tespit edilen izinsiz drone uçuşu sayısının, o süre için beklenen uçuş sayısının tam yarısı kadar olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

36e^{-6}

18e^{-6}

6e^{-6}

\frac{4}{3}e^{-2}

2e^{-2}

Show answer & explanation

Answer: $36e^{-6}$

Answer

İstenen olasılık

36e^{-6}

olarak hesaplanır.

Poisson dağılımının en ayırt edici özelliklerinden biri, beklenen değeri ile varyansının birbirine eşit olmasıdır (

E(X) = Var(X) = \lambda

). Soruda 20 dakikalık süre için standart sapma

\sqrt{2}

olarak verilmiştir. Buradan varyansın

(\sqrt{2})^2 = 2

olduğu, dolayısıyla 20 dakikalık oran parametresinin

\lambda = 2

olduğu bulunur. İstenilen olasılık 1 saatlik (60 dakikalık) bir süre içindir. Zaman aralığı 3 katına çıktığı için yeni Poisson parametresi

\lambda_{yeni} = 2 \times 3 = 6

olacaktır. Bu 1 saatlik aralıkta beklenen drone uçuş sayısı da 6'dır. Soru, gerçekleşen uçuş sayısının bu beklenen değerin tam yarısı (

6 / 2 = 3

) olma olasılığını sormaktadır. Poisson olasılık kütle fonksiyonu

P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}

formülü kullanılarak

P(X=3) = \frac{e^{-6} 6^3}{3!} = 36e^{-6}

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

20 dakikalık zaman dilimi için Poisson parametresinin (

\lambda

) belirlenmesi

Standart sapma =

\sqrt{2}

\implies

Varyans =

2

. Poisson dağılımında Varyans =

E(X) = \lambda

olduğundan, 20 dakikalık süre için

\lambda = 2

bulunur.

Poisson dağılımının temel özelliğinden yararlanarak varyans üzerinden ortalama oran parametresini bulmak.

2

1 saatlik (60 dakikalık) zaman dilimi için parametrenin (

\lambda_{yeni}

) ölçeklenmesi

1 saat içerisinde üç adet 20 dakikalık dilim olduğu için,

\lambda_{yeni} = 2 \times 3 = 6

olarak hesaplanır.

Poisson sürecinde oran parametresi, zaman aralığının uzunluğu ile doğru orantılı olarak değişir.

3

Soruda istenen hedef olay sayısının (

k

) hesaplanması

1 saatlik süre için beklenen uçuş sayısı

\lambda_{yeni} = 6

'dır. Bunun tam yarısı istendiği için aranan sayı

k = 6 / 2 = 3

olur.

Soruda belirtilen 'o süre için beklenen uçuş sayısının tam yarısı' koşulunu matematiksel ifadeye dönüştürmek.

4

Poisson olasılık kütle fonksiyonunun uygulanması

P(X = 3) = \frac{e^{-6} \cdot 6^3}{3!} = \frac{e^{-6} \cdot 216}{6} = 36e^{-6}

elde edilir.

Bulunan parametre (

\lambda=6

) ve istenilen x değeri (

k=3

) ile son olasılığı hesaplamak.

Key Concept

Poisson dağılımında varyans-beklenen değer eşitliği ve parametrenin zamana göre ölçeklenmesi (Homojen Poisson Süreci)

Question 6Question →

Derin deniz fiber optik kablo ağlarının bakımından sorumlu bir telekomünikasyon şirketinde, kablolarda meydana gelen mikro hata sayısı Poisson dağılımı ile modellenmektedir. Yapılan geçmiş veri analizlerine göre, 5 kilometrelik bir kablo kesitinde tam olarak 2 mikro hata bulunma olasılığı ile tam olarak 3 mikro hata bulunma olasılığı birbirine eşittir.

Bir otonom bakım robotu, 10 kilometrelik yeni bir kablo hattını incelemek üzere görevlendirilmiştir. Robotun bu inceleme görevinde harcayacağı enerji miktarı (kWh cinsinden), tespit edeceği toplam mikro hata sayısı $Y$ olmak üzere $E(Y) = 2Y^2 + 5Y + 15$ fonksiyonu ile hesaplanmaktadır.

Buna göre, bakım robotunun 10 kilometrelik inceleme boyunca harcaması beklenen enerji miktarı kaç kWh'dir?

48

54

105

117

129

Show answer & explanation

Answer: 129

Answer

129

Soru, Poisson dağılımında parametre ölçekleme ve varyans özelliklerinin sentezlenmesini gerektirmektedir. Öncelikle 5 km için

P(X=2) = P(X=3)

eşitliğinden yararlanarak

\lambda=3

bulunur. 10 km'lik yeni kesit için bu oran uzunlukla orantılı olarak artırılır ve

\lambda=6

olur. Böylece 10 km'deki hata sayısı

Y \sim Poisson(6)

dağılımına uyar. Robotun harcadığı enerji fonksiyonunun beklenen değerini (

E[2Y^2 + 5Y + 15]

) hesaplamak için

E[Y^2]

ve

E[Y]

değerlerine ihtiyaç vardır. Poisson dağılımında

E[Y] = Var(Y) = \lambda

olduğundan, hem beklenen değer hem de varyans 6'dır.

E[Y^2]

hesaplaması varyans formülünden çekilerek

Var(Y) + (E[Y])^2 = 6 + 6^2 = 42

olarak bulunur. Beklenen değerin doğrusallığı ilkesi uygulanarak

2(42) + 5(6) + 15 = 84 + 30 + 15 = 129

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

5 km için Poisson parametresini (λ₅) bulma

e^{-\lambda_5} \frac{\lambda_5^2}{2!} = e^{-\lambda_5} \frac{\lambda_5^3}{3!} \implies \lambda_5 = 3

Soruda verilen 'tam olarak 2 hata olasılığı ile tam olarak 3 hata olasılığı eşittir' bilgisini kullanarak temel Poisson parametresini hesaplamak.

2

10 km'lik inceleme için parametreyi (λ₁₀) ölçekleme

\lambda_{10} = 3 \times \frac{10}{5} = 6 \implies Y \sim Poisson(6)

Poisson sürecinde oran, incelenen aralığın uzunluğu ile doğru orantılıdır.

3

Y değişkeninin beklenen değerini ve varyansını belirleme

E[Y] = 6

ve

Var(Y) = 6

Poisson dağılımının temel özelliğine göre varyans ve beklenen değer, dağılımın parametresine (λ) eşittir.

4

E[Y^2]

değerini hesaplama

E[Y^2] = Var(Y) + (E[Y])^2 = 6 + 6^2 = 42

Maliyet fonksiyonundaki ikinci dereceden terimin beklenen değerini bulmak için varyans formülü (

Var(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2

) yeniden düzenlenerek kullanılır.

5

Beklenen enerji harcamasını hesaplama

E[E(Y)] = E[2Y^2 + 5Y + 15] = 2E[Y^2] + 5E[Y] + 15 = 2(42) + 5(6) + 15 = 129

Beklenen değer operatörünün doğrusallık ilkesi (linearity of expectation) kullanılarak nihai sonuç elde edilir.

Key Concept

Poisson Dağılımı Parametre Ölçekleme ve Momentleri

Question 7Question →

Bir devlet arşivinde yürütülen dijitalleştirme çalışmalarında, incelenen her 100 sayfalık belgede ortalama 4 adet okunamayan kelime tespit edilmektedir. Okunamayan kelime sayısının Poisson dağılımına uygun olduğu bilinmektedir.

Buna göre, rastgele seçilen 50 sayfalık bir belge bölümünde bulunacak okunamayan kelime sayısının varyansı ( $V$ ) ile bu bölümde tam olarak 3 adet okunamayan kelime bulunma olasılığı ( $P$ ) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

V = 2

,

\quad P = \frac{4}{3}e^{-2}

V = 4

,

\quad P = \frac{32}{3}e^{-4}

V = 1

,

\quad P = \frac{4}{3}e^{-2}

V = 2

,

\quad P = 5e^{-2}

V = 4

,

\quad P = \frac{4}{3}e^{-2}

Show answer & explanation

Answer: $V = 2$ , $\quad P = \frac{4}{3}e^{-2}$

Answer

Doğru değerler

V = 2

ve

P = \frac{4}{3}e^{-2}

şeklindedir.

Poisson dağılımında parametre

\lambda

, incelenen aralıkla orantılıdır. 100 sayfada ortalama 4 hata varsa, 50 sayfada

\lambda = 2

hata beklenir. Poisson dağılımının varyansı daima

\lambda

'ya eşittir, bu nedenle

V = 2

olur. Olasılık kütle fonksiyonunda

P(X = 3) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^x}{x!}

formülüne değerler yerleştirildiğinde

\frac{e^{-2} \cdot 2^3}{3!} = \frac{8}{6}e^{-2} = \frac{4}{3}e^{-2}

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

İstenen birim ölçü için

\lambda

(ortalama) parametresinin ölçeklendirilmesi

50 sayfalık bölüm için yeni ortalama

\lambda = 4 \times \frac{50}{100} = 2

olarak bulunur.

Poisson dağılımında ortalama değer, incelenen aralığın (zaman, alan, sayfa sayısı vb.) büyüklüğü ile doğru orantılı olarak değişir.

2

Poisson dağılımının özellikleri kullanılarak varyansın hesaplanması

Varyans (

V

) = Beklenen Değer (

\lambda

) olduğundan

V = 2

elde edilir.

Poisson dağılımının en temel özelliklerinden biri ortalamasının ve varyansının her zaman

\lambda

parametresine eşit olmasıdır.

3

Poisson olasılık kütle fonksiyonu kullanılarak tam olarak 3 hata bulunma olasılığının (

P

) hesaplanması

P(X = 3) = \frac{e^{-2} \cdot 2^3}{3!} = \frac{8e^{-2}}{6} = \frac{4}{3}e^{-2}

sonucu bulunur.

Kesikli bir değişken olan Poisson için nokta olasılığı

P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^x}{x!}

formülüyle hesaplanır.

Key Concept

Poisson dağılımında birim orantılaması (ölçekleme) ve beklenen değer-varyans eşitliği

Question 8Question →

Bir tekstil fabrikasında üretilen özel bir kumaştaki dokuma hatalarının sayısı Poisson dağılımına uymaktadır. Geçmiş verilere göre, bu kumaştan rastgele seçilen $50\text{ m}^2$ 'lik bir rulodaki dokuma hatası sayısının varyansı $10$ 'dur.

Buna göre, bu kumaştan kesilen $20\text{ m}^2$ 'lik bir parçada tam olarak $2$ adet dokuma hatası bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

8e^{-4}

13e^{-4}

50e^{-10}

1{}28e^{-1{}6}

8e^{-2}

Show answer & explanation

Answer: $8e^{-4}$

Answer

İstenen alan için ölçeklenmiş parametre hesaplanarak formülde yerine konulduğunda sonuç

8e^{-4}

bulunur.

Poisson dağılımının en temel özelliklerinden biri, beklenen değerinin (

\lambda

) varyansına eşit olmasıdır. Soruda

50\text{ m}^2

'lik alandaki varyans

10

verildiği için bu alanın ortalaması da

\lambda_{50} = 10

'dur. Kumaştan

20\text{ m}^2

'lik bir parça kesildiğinde, alan küçüldüğü için yeni oran parametresi doğrusal olarak hesaplanmalıdır:

\lambda_{20} = 10 \times \frac{20}{50} = 4

. İstenilen nokta olasılığı,

x=2

değeri için

P(X=2) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}

formülüne yerleştirilerek

\frac{e^{-4} \cdot 4^2}{2!} = \frac{16e^{-4}}{2} = 8e^{-4}

olarak doğru şekilde elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

50\text{ m}^2

için Poisson dağılımının parametresini (

\lambda

) belirlemek.

\lambda_{50} = 10

Poisson dağılımında varyans değeri doğrudan dağılımın ortalamasına (beklenen değere) eşittir.

2

Belirlenen parametreyi sorulan alan olan

20\text{ m}^2

için ölçeklemek.

\lambda_{20} = 10 \times \left(\frac{20}{50}\right) = 4

Poisson dağılımının oran parametresi zaman veya uzay (alan) birimiyle doğrusal (lineer) olarak orantılıdır.

3

Ölçeklenmiş parametre ile

x=2

için Poisson olasılık fonksiyonunu hesaplamak.

P(X=2) = \frac{e^{-4} 4^2}{2!} = \frac{16e^{-4}}{2} = 8e^{-4}

Tam olarak 2 hata bulunma olasılığını bulmak için olasılık kütle fonksiyonu (PDF) uygulanmalıdır.

Key Concept

Poisson Dağılımında Parametre Ölçekleme ve Varyans Özelliği

Question 9Question →

Kamu İhale Kurumu (KİK) tarafından yürütülen Elektronik Kamu Alımları Platformu (EKAP) üzerindeki ihalelerde, sunulan teklif dosyalarındaki teknik şartnameye uygunsuzluk sayısının Poisson dağılımına uyduğu kabul edilmektedir.

Kurumun denetim raporlarına göre, incelenen her $50$ teklif dosyasında ortalama $2$ adet teknik şartnameye uygunsuzluk tespit edilmektedir.

Buna göre, rastgele seçilen $150$ teklif dosyasından oluşan bir denetim paketindeki teknik şartnameye uygunsuzluk sayısının varyansı ( $V$ ) ve bu pakette tam olarak $2$ adet uygunsuzluk tespit edilme olasılığı ( $P$ ) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

V = 6, \quad P = 18e^{-6}

V = 2, \quad P = 2e^{-2}

V = 18, \quad P = 18e^{-6}

V = 6, \quad P = 25e^{-6}

V = 5,76, \quad P = 18e^{-6}

Show answer & explanation

Answer: $V = 6, \quad P = 18e^{-6}$

Answer

Doğru seçenek, varyansın 6 ve 2 uygunsuzluk bulunma olasılığının

18e^{-6}

olduğu seçenektir.

Doğru yanıtta, öncelikle

50

dosyada

2

olan hata oranının,

150

dosyada orantısal olarak artacağı göz önüne alınmış ve yeni Poisson parametresi

\lambda = 150 \times (2/50) = 6

olarak hesaplanmıştır. Poisson dağılımında varyans parametreye eşit olduğu için

V = 6

bulunur. Tam olarak

2

hata bulunma olasılığı ise Poisson olasılık kütle fonksiyonuna

\lambda=6

ve

x=2

değerleri yazılarak

P(X=2) = \frac{e^{-6} \cdot 6^2}{2!} = 18e^{-6}

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen orandan yeni örneklem hacmi için Poisson parametresini (

\lambda

) hesaplamak.

Yeni

\lambda = 150 \times (2 / 50) = 150 \times 0,04 = 6

olarak bulunur.

Poisson dağılımında beklenen değer (ortalama), incelenen hacim veya zaman aralığı ile doğru orantılı olarak ölçeklenmelidir.

2

Poisson dağılımının varyans özelliğini kullanarak yeni varyansı (

V

) belirlemek.

Poisson dağılımında varyans, beklenen değere (

\lambda

) eşittir. Bu nedenle

V = \lambda = 6

olur.

Poisson dağılımının en temel özelliklerinden biri, ortalama ile varyansın birbirine eşit olmasıdır (

E(X) = Var(X) = \lambda

).

3

Ölçeklenmiş

\lambda

değerini kullanarak

X=2

için nokta olasılığını hesaplamak.

P(X=2) = \frac{e^{-6} \cdot 6^2}{2!} = \frac{36 \cdot e^{-6}}{2} = 18e^{-6}

olarak hesaplanır.

Poisson dağılımının olasılık kütle fonksiyonu

P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^x}{x!}

formülü ile verilir.

Key Concept

Poisson Dağılımında Parametre Ölçekleme ve Varyans Özelliği

Question 10Question →

Sağlık Bakanlığı Halk Sağlığı Genel Müdürlüğü tarafından yürütülen rutin su kalitesi izleme programı kapsamında, belirli bir şebeke hattından alınan numunelerde tespit edilen spesifik mikrobiyolojik kontaminasyon vakalarının sayısının Poisson dağılımına uyduğu bilinmektedir. Yapılan analizlere göre, bu şebeke hattında $1$ haftalık sürede ortalama $2,5$ kontaminasyon vakası rapor edilmektedir.

Buna göre, $2$ haftalık ardışık bir izleme periyodunda rapor edilecek toplam kontaminasyon vakası sayısının varyansı ve bu periyotta tam olarak $2$ kontaminasyon vakası rapor edilme olasılığı sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

5

ve

\frac{25}{2} e^{-5}

2,5

ve

\frac{25}{8} e^{-2,5}

10

ve

\frac{25}{2} e^{-5}

2,5

ve

\frac{25}{2} e^{-5}

5

ve

\frac{25}{8} e^{-2,5}

Show answer & explanation

Answer: $5$ ve $\frac{25}{2} e^{-5}$

Answer

2

haftalık periyot için varyans

5

ve

2

vaka rapor edilme olasılığı

\frac{25}{2} e^{-5}

'tir.

Doğru seçenekte, izleme periyodu

1

haftadan

2

haftaya çıktığı için Poisson oran parametresi

\lambda = 2,5 \times 2 = 5

olarak güncellenmiştir. Poisson dağılımında varyans beklenen değere eşit olduğundan (

Var(X) = \lambda

),

2

haftalık varyans

5

olarak bulunur.

2

haftalık periyotta tam olarak

2

kontaminasyon vakası görülme olasılığı ise

P(X=2) = \frac{5^2 e^{-5}}{2!} = \frac{25}{2} e^{-5}

formülüyle doğru şekilde hesaplanmıştır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen problemi tanımlama ve temel parametreyi belirleme.

1

haftalık periyot için ortalama vaka sayısı (oran parametresi)

\lambda = 2,5

olarak belirlenir.

Zaman içindeki ardışık bağımsız olayların modellenmesinde birim zamana düşen ortalama olay sayısı üzerinden ilerlenmesi gerekir.

2

Zaman periyodunu istenen aralığa göre ölçeklendirme.

İstenen süre

2

hafta olduğu için, Poisson oran parametresi bu süreye göre güncellenir:

\lambda_{yeni} = 2 \times 2,5 = 5

.

Poisson sürecinde ortalama olay sayısı (

\lambda

) dikkate alınan zaman aralığının uzunluğu ile doğru orantılıdır.

3

İstenen periyot için toplam vaka sayısının varyansını hesaplama.

Varyans değeri

5

olarak bulunur.

Poisson dağılımının tanımlayıcı özelliklerinden biri, beklenen değerin (

\lambda

) varyansa eşit olmasıdır (

E(X) = Var(X) = \lambda

).

4

Ölçeklenmiş parametre ile nokta olasılığını hesaplama.

Formülde

\lambda=5

ve

x=2

değerleri yerine konulduğunda

P(X=2) = \frac{5^2 e^{-5}}{2!} = \frac{25}{2} e^{-5}

sonucu elde edilir.

Nokta olasılığı Poisson olasılık kütle fonksiyonu olan

P(X=x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}

formülü ile hesaplanmaktadır.

Key Concept

Poisson sürecinde oran parametresinin ölçeklenmesi ve varyansın beklenen değere eşitliği.

Question 11Question →

Ulaştırma ve Altyapı Bakanlığı'na bağlı TCDD Taşımacılık A.Ş. tarafından işletilen Yüksek Hızlı Tren (YHT) hatlarında yapılan rutin kontrollerde, sinyalizasyon sisteminde meydana gelen anlık arıza sayısının Poisson dağılımına uyduğu tespit edilmiştir. Geçmiş verilere göre, her $40$ kilometrelik hat kesiminde ortalama $1$ adet anlık sinyalizasyon arızası kaydedilmektedir.

Buna göre, rastgele seçilen $120$ kilometrelik bir hat kesiminde meydana gelecek arıza sayısının varyans değeri ( $v$ ) ile bu hatta tam olarak varyans değerine eşit sayıda arıza gözlemlenme olasılığı ( $P$ ) aşağıdakilerin hangisinde birlikte doğru verilmiştir?

v = 1, \quad P = e^{-1}

v = 3, \quad P = \frac{1}{6} e^{-1}

v = 3, \quad P = \frac{9}{2} e^{-3}

v = 3, \quad P = 27 e^{-3}

v = 9, \quad P = \frac{9}{2} e^{-3}

Show answer & explanation

Answer: $v = 3, \quad P = \frac{9}{2} e^{-3}$

Answer

120 km'lik hat için varyans 3'tür ve tam olarak 3 arıza gözlemlenme olasılığı

9/2 e^{-3}

değerine eşittir.

Soru, Poisson dağılımının iki temel özelliğini ölçmektedir: Parametrenin aralık uzunluğuna göre ölçeklenebilmesi ve varyansın ortalamaya eşit olması.

40

km'de ortalama

1

arıza oluyorsa,

120

km'de beklenen arıza sayısı

\lambda = 3

'tür. Poisson dağılımında varyans

\lambda

'ya eşit olduğundan

v = 3

olur. Bizden istenen olasılık

P(X = 3)

'tür. Formülde yerine konulduğunda

P(X = 3) = \frac{e^{-3} \cdot 3^3}{3!} = \frac{27}{6} e^{-3} = \frac{9}{2} e^{-3}

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

İstenen mesafe için yeni Poisson parametresinin (

\lambda

) hesaplanması.

120 \text{ km} / 40 \text{ km} = 3 \implies \lambda = 3 \times 1 = 3

.

Poisson dağılımında ortalama değer (beklenen değer) incelenen aralığın uzunluğu ile orantılı olarak ölçeklenmelidir.

2

120

kilometrelik hat için varyans değerinin (

v

) bulunması.

Poisson dağılımında varyans, beklenen değere eşittir. Dolayısıyla

v = \lambda = 3

.

Soru bizden

120

km'lik hat için varyans değerini istemektedir ve Poisson dağılımının temel bir özelliği

E(X) = Var(X) = \lambda

olmasıdır.

3

Tam olarak varyans değerine eşit sayıda (

x = 3

) arıza gözlemlenme olasılığının (

P

) hesaplanması.

P(X = 3) = \frac{e^{-3} \cdot 3^3}{3!} = \frac{27 e^{-3}}{6} = \frac{9}{2} e^{-3}

.

Poisson olasılık kütle fonksiyonu formülü

P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^x}{x!}

kullanılarak

x = 3

için hesaplama yapılır.

Key Concept

Poisson Dağılımının Özellikleri ve Ölçeklenmesi

Question 12Question →

Bir vergi dairesinin vezne sisteminde yaşanan teknik aksaklıkların sayısı Poisson dağılımına uymaktadır. Yapılan incelemelerde, her 30 dakikalık zaman diliminde ortalama 2 adet sistem hatası meydana geldiği belirlenmiştir. Buna göre, bu veznede 1 saatlik (60 dakika) süre içerisinde meydana gelen toplam sistem hatası sayısının varyansı kaçtır?

2

4

8

16

1

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

1 saatlik süre içerisindeki sistem hatalarının varyansı 4'tür.

Doğru yanıt olan seçenek, Poisson dağılımının temel özelliğini yansıtmaktadır. Bir Poisson sürecinde ortalama hata sayısı zamanla doğrusal olarak artar. 30 dakikada 2 hata oluyorsa, 60 dakikada (1 saat) ortalama 4 hata beklenir. Poisson dağılımında varyans ile beklenen değer birbirine eşit olduğu için, bu süre zarfındaki hataların varyansı da 4 olacaktır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen zaman birimi için Poisson parametresini (

\\lambda

) belirleyin.

30 dakika için

\\lambda_{30} = 2

Soru kökünde 30 dakikada ortalama 2 hata olduğu belirtilmiştir.

2

İstenen zaman aralığı (1 saat) için parametreyi ölçeklendirin.

1 saat = 60 dakika olduğundan,

\\lambda_{60} = 2 \times \\frac{60}{30} = 4

Poisson süreçlerinde beklenen değer, zaman aralığı ile doğru orantılı olarak değişir.

3

Poisson dağılımının varyans özelliğini uygulayın.

Var(X) = \\lambda = 4

Poisson dağılımına sahip bir rastgele değişkenin varyansı, dağılımın ortalamasına (

\\lambda

) eşittir.

Key Concept

Poisson dağılımında ortalama ve varyansın birbirine eşit olması ve zaman aralığına göre orantılı ölçeklendirilmesi.

Estimated Time:45s

Question 13Question →

T.C. Sanayi ve Teknoloji Bakanlığı tarafından yürütülen bir kalite kontrol sürecinde, üretilen yerli tıbbi cihazların her bir ünitesinde rastlanan mikro düzeydeki kusur sayısının ortalaması $2,4$ olan bir Poisson dağılımına sahip olduğu belirlenmiştir. Buna göre, bu dağılımın varyansı aşağıdakilerden hangisidir?

1,2

2,4

4,8

5,76

\sqrt{2,4}

Show answer & explanation

Answer: 2,4

Answer

Poisson dağılımının özelliği gereği varyans ortalamaya eşittir ve 2,4 değerine sahiptir.

Poisson dağılımı,

X \sim Poisson(\lambda)

şeklinde ifade edildiğinde, bu dağılımın hem beklenen değeri (ortalaması) hem de varyansı

\lambda

parametresine eşittir. Soruda ortalama

2,4

olarak verildiğinden, varyans da doğrudan

2,4

olur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen dağılım parametresini belirleme

\lambda = 2,4

Soruda ortalamanın

2,4

olduğu ve dağılımın Poisson olduğu belirtilmiştir.

2

Poisson dağılımının varyans özelliğini uygulama

Var(X) = \lambda = 2,4

Poisson dağılımında beklenen değer (

E[X]

) ve varyans (

Var(X)

) parametre olan

\lambda

değerine eşittir.

Key Concept

Poisson Dağılımında Ortalama ve Varyans Eşitliği

Practice More

Poisson dağılımında ortalama ve varyans eşitliği mülakatlarda ve sınavlarda sıkça sorulan temel bir özelliktir.

Estimated Time:30s

Question 14Question →

Bir kamu kütüphanesinde ödünç alınan kitapların iade süreçlerinde tespit edilen fiziksel hasarların sayısı Poisson dağılımına uymaktadır. Kütüphane yönetimi tarafından yapılan incelemelerde, rastgele seçilen her $20$ kitapta ortalama $1,5$ adet hasar tespit edildiği belirlenmiştir.

Buna göre, bu kütüphaneden iade edilen $40$ kitaplık bir gruptaki toplam hasar sayısının varyansı kaçtır?

1,5

2,25

3

4,5

9

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

40 kitaplık gruptaki hasar sayısının varyansı 3'tür.

Verilen problemde,

20

kitap için ortalama hasar sayısı

\lambda = 1,5

olarak belirtilmiştir. Poisson dağılımında ortalama, gözlem hacmiyle doğru orantılıdır; dolayısıyla

40

kitaplık bir grupta beklenen hasar sayısı

\lambda_{yeni} = 1,5 \times 2 = 3

olur. Poisson dağılımının karakteristik bir özelliği olarak varyans, beklenen değere eşittir (

Var(X) = \lambda

). Bu nedenle varyans değeri de 3 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Poisson parametresini (

\lambda

) yeni birim aralığına göre ölçeklendirin.

\lambda_{40} = 1,5 \times \frac{40}{20} = 3

Poisson dağılımında ortalama değer, gözlem yapılan birim (zaman, alan, miktar) ile doğru orantılı olarak değişir.

2

Poisson dağılımının varyans özelliğini uygulayın.

Var(X) = \lambda = 3

Poisson dağılımının en temel özelliklerinden biri, beklenen değer (ortalama) ile varyansın birbirine eşit olmasıdır.

Key Concept

Poisson Dağılımında Parametre Ölçeklendirme ve Varyans-Ortalama Eşitliği

Hints

1

Poisson dağılımında ortalama değer (beklenen değer) ile varyans arasındaki ilişkiyi hatırlayın.

2

20 kitapta 1,5 hasar oluyorsa, 40 kitapta kaç hasar olması beklenir? Önce bu yeni ortalamayı hesaplayın.

Practice More

Poisson dağılımında standart sapmanın varyansın karekökü olduğunu hatırlayarak benzer bir problemi standart sapma üzerinden çözebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 15Question →

Bir Tapu ve Kadastro Müdürlüğünde yapılan işlem başvurularının sayısı Poisson dağılımına uymaktadır. Bu müdürlüğe saatte ortalama $12$ başvuru yapıldığı bilindiğine göre, $15$ dakikalık bir süre zarfında yapılan başvuru sayısının varyansı kaçtır?

12

3

48

\sqrt{3}

144

Show answer & explanation

Answer: $3$

Answer

On beş dakikalık süre için hesaplanan varyans

3

değeridir.

Poisson dağılımında bir aralık için tanımlanan parametre

\lambda

, hem o aralıktaki beklenen değeri hem de varyansı temsil eder. Saatte

12

başvuru geliyorsa,

15

dakikalık (

1/4

saat) bir aralık için yeni parametre

12/4 = 3

olur. Bu durumda varyans da doğrudan

3

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen birim zaman için ortalama oranı (

\lambda

) belirleyin.

\lambda_{\text{saat}} = 12

.

Soruda saatlik ortalama başvuru sayısı

12

olarak verilmiştir.

2

İstenen zaman aralığına göre oran parametresini ölçekleyin.

\lambda_{15\text{dk}} = 12 \times \frac{15}{60} = 3

.

Poisson süreci zamanla doğru orantılıdır;

15

dakika, bir saatin dörtte biridir (

0,25

saat).

3

Poisson dağılımının varyans özelliğini uygulayın.

\text{Varyans} = \lambda_{15\text{dk}} = 3

.

Poisson dağılımının temel özelliği gereği, beklenen değer (ortalama) ve varyans birbirine eşittir.

Key Concept

Poisson dağılımında ortalama ve varyans parametresinin (

\lambda

) eşitliği ve zaman ölçeklemesi.

Estimated Time:45s

Poisson Dağılımı

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes