Bir büyükşehir belediyesi, iki farklı ilçedeki (Kuzey ve Güney ilçeleri) asfaltlama çalışm… — KPSS İstatistik

Bir büyükşehir belediyesi, iki farklı ilçedeki (Kuzey ve Güney ilçeleri) asfaltlama çalışmalarında harcanan günlük asfalt miktarlarının değişkenliğini incelemektedir.

Kuzey ilçesinde rastgele seçilen 16 günlük çalışmada harcanan asfalt miktarları (ton) için düzeltilmiş kareler toplamı $\sum_{i=1}^{16} (X_i - \bar{X})^2 = 600$ olarak bulunmuştur. Güney ilçesinde rastgele seçilen 25 günlük çalışmada ise bu değer $\sum_{j=1}^{25} (Y_j - \bar{Y})^2 = 480$ olarak hesaplanmıştır.

Günlük harcanan asfalt miktarlarının bağımsız ve normal dağılıma sahip olduğu varsayımı altında, Kuzey ilçesindeki varyansın Güney ilçesindeki varyansa oranı $\left( \frac{\sigma_K^2}{\sigma_G^2} \right)$ için $\%98$ güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(İlgili test istatistiği için tablo değerleri: $F_{0.01; 15, 24} = c$ , $F_{0.01; 24, 15} = d$ ve standart normal dağılım kritik değeri $Z_{0.01} = z$ olarak verilmiştir. $F_{\alpha}$ değerleri sağ kuyruk olasılıklarını ifade etmektedir.)

$\left[ \frac{2}{c}, 2d \right]$ Answer
B
$\left[ \frac{2}{d}, 2c \right]$
C
$\left[ \frac{2}{z}, 2z \right]$
D
$\left[ \frac{1.25}{c}, 1.25d \right]$
E
$\left[ \frac{1}{2d}, \frac{c}{2} \right]$

Answer

Güven aralığı

\left[ \frac{2}{c}, 2d \right]

şeklindedir.

Doğru aralık, örneklem varyanslarının oranının F dağılımı kritik değerleriyle ağırlıklandırılması sonucunda bulunur. Kuzey ve Güney ilçeleri için örneklem varyansları

S_K^2 = 600 / 15 = 40

S_G^2 = 480 / 24 = 20

hesaplanarak oranları

2

bulunur. Formüldeki alt sınır için

1/F_{0.01; 15, 24}

(

1/c

) ve üst sınır için

F_{0.01; 24, 15}

(

d

) kullanıldığında

\left[ \frac{2}{c}, 2d \right]

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

Kuzey ilçesi için örneklem varyansının hesaplanması

S_K^2 = \frac{600}{16-1} = \frac{600}{15} = 40

Düzeltilmiş kareler toplamı serbestlik derecesine (

n_1-1

) bölünmelidir.

Güney ilçesi için örneklem varyansının hesaplanması

S_G^2 = \frac{480}{25-1} = \frac{480}{24} = 20

İkinci kitlenin varyans tahmini için aynı formül uygulanır.

Örneklem varyansları oranının bulunması

\frac{S_K^2}{S_G^2} = \frac{40}{20} = 2

Güven aralığı formülünün merkez noktası örneklem varyanslarının oranıdır.

Güven düzeyi ve kritik F değerlerinin belirlenmesi

\%98

güven için

\alpha = 0.02

\alpha/2 = 0.01

olur. Tablo değerleri:

F_{0.01; 15, 24} = c

F_{0.01; 24, 15} = d

Aralık sınırlarını oluşturmak için

\alpha/2

anlamlılık düzeyindeki sağ ve sol kuyruk değerleri gereklidir.

Güven aralığı formülüne değerlerin yerleştirilmesi

Alt sınır:

2 \times \frac{1}{c}

, Üst sınır:

2 \times d \implies \left[ \frac{2}{c}, 2d \right]

\left[ \frac{S_K^2}{S_G^2} \frac{1}{F_{\alpha/2; v_K, v_G}}, \frac{S_K^2}{S_G^2} F_{\alpha/2; v_G, v_K} \right]

formülü uygulanır.

Key Concept

İki Kitle Varyansları Oranı İçin Güven Aralığı Tahmini

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic