Examkin

Question

Difficulty: HardOrtalama Vektörü ve Kovaryans Matrisi

X=[X1X2X3]\mathbf{X} = \begin{bmatrix} X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{bmatrix} rastgele vektörü, ortalama vektörü μ\boldsymbol{\mu} ve kovaryans matrisi

Σ=[41−1120−103] \boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} 4 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \end{bmatrix}
olan üç değişkenli normal dağılıma sahiptir.
Bu vektörün bileşenlerinin doğrusal kombinasyonları ile yeni bir Z=[Z1Z2]\mathbf{Z} = \begin{bmatrix} Z_1 \\ Z_2 \end{bmatrix} rastgele vektörü aşağıdaki gibi oluşturuluyor:
Z1=X1−X2 Z_1 = X_1 - X_2
Z2=X2+X3 Z_2 = X_2 + X_3

Buna göre, Z\mathbf{Z} rastgele vektörünün genelleştirilmiş varyansı (generalized variance) kaçtır?

  1. A
    9
  2. 16Answer
  3. C
    19
  4. D
    20
  5. E
    26

Answer

Z rastgele vektörünün genelleştirilmiş varyansı 16'dır.
Doğru değer, Z vektörünün kovaryans matrisinin köşegen elemanlarının (varyanslar: 4 ve 5) çarpımından, köşegendışı elemanların (kovaryans: -2) karesinin çıkarılmasıyla elde edilen determinanttır (16). Bu determinant genelleştirilmiş varyansı ifade eder.

Step-by-Step Solution

1
Z vektörünün bileşenlerinin varyanslarını hesaplama
Var(Z1)=4Var(Z_1) = 4 ve Var(Z2)=5Var(Z_2) = 5 bulunur.
Var(X1−X2)=Var(X1)+Var(X2)−2Cov(X1,X2)=4+2−2(1)=4Var(X_1-X_2) = Var(X_1) + Var(X_2) - 2Cov(X_1,X_2) = 4 + 2 - 2(1) = 4 ve Var(X2+X3)=Var(X2)+Var(X3)+2Cov(X2,X3)=2+3+2(0)=5Var(X_2+X_3) = Var(X_2) + Var(X_3) + 2Cov(X_2,X_3) = 2 + 3 + 2(0) = 5 formülleri uygulanır.
2
Z vektörünün bileşenleri arasındaki kovaryansı hesaplama
Cov(Z1,Z2)=−2Cov(Z_1, Z_2) = -2 bulunur.
Cov(X1−X2,X2+X3)=Cov(X1,X2)+Cov(X1,X3)−Var(X2)−Cov(X2,X3)=1+(−1)−2−0=−2Cov(X_1-X_2, X_2+X_3) = Cov(X_1,X_2) + Cov(X_1,X_3) - Var(X_2) - Cov(X_2,X_3) = 1 + (-1) - 2 - 0 = -2 eşitliği kullanılarak bileşenler arası doğrusal ilişki saptanır.
3
Z vektörünün kovaryans matrisini oluşturma ve genelleştirilmiş varyansı bulma
Determinant değeri 1616 olarak hesaplanır.
Genelleştirilmiş varyans, elde edilen ΣZ=[4−2−25]\boldsymbol{\Sigma}_Z = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 5 \end{bmatrix} matrisinin determinantıdır: (4×5)−(−2×−2)=20−4=16(4 \times 5) - (-2 \times -2) = 20 - 4 = 16 bulunur.

Key Concept

Doğrusal Dönüşümlerin Kovaryans Matrisi ve Genelleştirilmiş Varyans
Rate this question

Topics

Ortalama Vektörü ve Kovaryans Matrisi

More questions from this topic