Examkin

Question

Difficulty: HardOrtalama Vektörü ve Kovaryans Matrisi
X=[X1X2X3]\mathbf{X} = \begin{bmatrix} X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{bmatrix} rastgele vektörü, μ\boldsymbol{\mu} ortalama vektörüne ve
Σ=[411130102] \boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} 4 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}
kovaryans matrisine sahip üç değişkenli normal dağılıma uymaktadır.
Bu dağılımdan elde edilen yeni bir Y\mathbf{Y} rastgele vektörü,
Y=[Y1Y2]=[X1−X3X1−3X2] \mathbf{Y} = \begin{bmatrix} Y_1 \\ Y_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} X_1 - X_3 \\ X_1 - 3X_2 \end{bmatrix}
doğrusal dönüşümü ile tanımlanmıştır.

Buna göre, Y\mathbf{Y} vektörünün genelleştirilmiş varyansı (kovaryans matrisinin determinantı) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    1919
  2. B
    2929
  3. C
    4040
  4. 100100Answer
  5. E
    170170

Answer

Dönüşüm sonrası elde edilen yeni kovaryans matrisinin determinantı 100100 olmalıdır.
Çok değişkenli normal dağılımda doğrusal bir dönüşüm olan Y=AX\mathbf{Y} = \mathbf{A}\mathbf{X} vektörünün kovaryans matrisi ΣY=AΣA′\boldsymbol{\Sigma}_Y = \mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}' eşitliği ile bulunur. Çapraz varyans hesaplamaları yapıldığında Y1Y_1'in varyansı 44, Y2Y_2'nin varyansı 2525 ve aralarındaki kovaryans 00 olarak hesaplanır. Genelleştirilmiş varyans, bu yeni matrisin determinantı olduğundan sonuç 4×25=1004 \times 25 = 100 olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
Doğrusal dönüşümü matris formunda ifade etme.
Y=AX\mathbf{Y} = \mathbf{A}\mathbf{X} şeklinde yazıldığında dönüşüm matrisi: A=[10−11−30]\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & -3 & 0 \end{bmatrix} olarak belirlenir.
Çok değişkenli analizde doğrusal dönüşümlerin varyansını bulmak için dönüşüm katsayıları matrisine ihtiyaç vardır.
2
Y\mathbf{Y} vektörünün kovaryans matrisini (ΣY\boldsymbol{\Sigma}_Y) hesaplama.
Y1Y_1'in varyansı: Var(X1−X3)=Var(X1)+Var(X3)−2Cov(X1,X3)=4+2−2(1)=4Var(X_1 - X_3) = Var(X_1) + Var(X_3) - 2Cov(X_1, X_3) = 4 + 2 - 2(1) = 4.
Y2Y_2'nin varyansı: Var(X1−3X2)=Var(X1)+9Var(X2)−6Cov(X1,X2)=4+9(3)−6(1)=25Var(X_1 - 3X_2) = Var(X_1) + 9Var(X_2) - 6Cov(X_1, X_2) = 4 + 9(3) - 6(1) = 25.
Y1Y_1 ve Y2Y_2 kovaryansı: Cov(X1−X3,X1−3X2)=Var(X1)−3Cov(X1,X2)−Cov(X3,X1)+3Cov(X3,X2)=4−3(1)−1+0=0Cov(X_1 - X_3, X_1 - 3X_2) = Var(X_1) - 3Cov(X_1, X_2) - Cov(X_3, X_1) + 3Cov(X_3, X_2) = 4 - 3(1) - 1 + 0 = 0.
ΣY=AΣA′\boldsymbol{\Sigma}_Y = \mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}' işlemini analitik bileşenlerine ayırarak yeni matrisin elemanlarını elde etmek.
3
Elde edilen matrisi yazma.
Hesaplanan değerlere göre yeni kovaryans matrisi ΣY=[40025]\boldsymbol{\Sigma}_Y = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 25 \end{bmatrix} olur.
Genelleştirilmiş varyansı bulabilmek için matris formunun oluşturulması gerekir.
4
Genelleştirilmiş varyansı (determinant) hesaplama.
∣ΣY∣=(4×25)−(0×0)=100|\boldsymbol{\Sigma}_Y| = (4 \times 25) - (0 \times 0) = 100.
Çok değişkenli analizde bir rastgele vektörün genelleştirilmiş varyansı, onun kovaryans matrisinin determinantına eşittir.

Key Concept

Çok Değişkenli Normal Dağılımda Doğrusal Dönüşümler ve Genelleştirilmiş Varyans

Alternative Method

Matris cebiri kullanmak (AΣA′\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}') yerine doğrudan istatistiksel beklenen değer operatörleri ile her bir eleman tek tek elde edilebilir: Var(aXi+bXj)=a2Var(Xi)+b2Var(Xj)+2abCov(Xi,Xj)Var(aX_i + bX_j) = a^2Var(X_i) + b^2Var(X_j) + 2abCov(X_i, X_j). Matris çarpımında işlem hatası yapma eğiliminde olan adaylar için bu parçalı yöntem daha güvenli olabilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Ortalama Vektörü ve Kovaryans Matrisi

More questions from this topic