X ve Y sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x, y) = 1 (0 … — KPSS İstatistik

$X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $f(x, y) = 1$ ( $0 < x < 1, 0 < y < 1$ ) olarak verilmiştir. Bu değişkenler üzerinde $U = X^2$ ve $V = Y$ şeklinde bir değişken dönüşümü tanımlandığına göre, yeni değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $h(u, v)$ aşağıdakilerden hangisidir?

$h(u, v) = \frac{1}{2\sqrt{u}}, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1$ Answer
B
$h(u, v) = 1, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1$
C
$h(u, v) = 2\sqrt{u}, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1$
D
$h(u, v) = \frac{1}{2\sqrt{u}}, \quad 0 < u < 2, \quad 0 < v < 1$
E
$h(u, v) = \frac{1}{4u}, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1$

Answer

h(u, v) = \frac{1}{2\sqrt{u}}, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1

ifadesi doğru olasılık yoğunluk fonksiyonudur.

Dönüşüm için Jakobiyen determinantı

\frac{1}{2\sqrt{u}}

olarak hesaplanır ve orijinal PDF olan 1 ile çarpıldığında doğru sonuç elde edilir. Tanım aralıkları da bire-bir dönüşüm altında korunur.

Step-by-Step Solution

Ters dönüşüm denklemlerini yazınız.

x = \sqrt{u}

y = v

Orijinal değişkenleri (

x, y

) yeni değişkenler (

u, v

) cinsinden ifade etmek gerekir.

Jakobiyen determinantını (

J

) hesaplayınız.

J = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} \frac{1}{2\sqrt{u}} & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2\sqrt{u}}

Çok değişkenli dönüşümlerde alan değişimini temsil eden Jakobiyen çarpanı hesaplanmalıdır.

Yeni olasılık yoğunluk fonksiyonunu

h(u, v) = f(x, y) \cdot |J|

formülüyle bulunuz.

h(u, v) = 1 \cdot |\frac{1}{2\sqrt{u}}| = \frac{1}{2\sqrt{u}}

Ortak PDF dönüşüm formülü uygulanarak yeni yoğunluk fonksiyonu elde edilir.

Yeni tanım bölgesini (support) belirleyiniz.

0 < x < 1 \implies 0 < \sqrt{u} < 1 \implies 0 < u < 1

0 < y < 1 \implies 0 < v < 1

Değişkenlerin tanımlı olduğu aralıklar dönüşüm altında yeniden kontrol edilmelidir.

Key Concept

Jakobiyen Determinantı ile Değişken Dönüşümü

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics