Examkin

Question

Difficulty: HardOlasılıkta Yakınsama

Birbirinden bağımsız {Xn}\{X_n\} ve {Yn}\{Y_n\} rastgele değişken dizileri, sırasıyla ortalamaları μX,μY\mu_X, \mu_Y ve varyansları σX2<∞,σY2<∞\sigma^2_X < \infty, \sigma^2_Y < \infty olan aynı dağılımlı kitlelerden elde edilmiştir. Bu dizilerin ilk nn teriminin aritmetik ortalamaları sırasıyla Xˉn\bar{X}_n ve Yˉn\bar{Y}_n olarak tanımlanmıştır. Ayrıca, {Tn}\{T_n\} dizisi standart normal dağılıma sahip bir TT rastgele değişkenine dağılımda yakınsamaktadır (Tn→dTT_n \xrightarrow{d} T).

Buna göre, dizilerin asimptotik davranışları ve yakınsama türleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman doğrudur?

  1. A
    Tn→dTT_n \xrightarrow{d} T olduğu için, olasılıkta yakınsama hiyerarşisi gereği TnT_n dizisi aynı zamanda TT rastgele değişkenine olasılıkta da yakınsar.
  2. B
    Zayıf Büyük Sayılar Yasası gereğince, XiX_i ve YiY_i değişkenleri birbirine bağımlı olsa bile, dizilerin çarpımının ortalaması olan 1n∑i=1n(XiYi)\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i Y_i) ifadesi olasılıkta daima μXμY\mu_X \mu_Y değerine yakınsar.
  3. C
    Bağımsız örneklem ortalamaları farkının varyansı Var(Xˉn−Yˉn)=σX2−σY2nVar(\bar{X}_n - \bar{Y}_n) = \frac{\sigma^2_X - \sigma^2_Y}{n} olduğundan, Chebyshev eşitsizliği kullanılarak fark dizisinin μX−μY\mu_X - \mu_Y değerine olasılıkta yakınsadığı ispatlanır.
  4. Zayıf Büyük Sayılar Yasası ve Slutsky teoreminin bir sonucu olarak, Xˉn⋅Tn\bar{X}_n \cdot T_n çarpım dizisi dağılımda μX⋅T\mu_X \cdot T rastgele değişkenine yakınsar.Answer
  5. E
    Xˉn\bar{X}_n dizisi Zayıf Büyük Sayılar Yasası ile μX\mu_X sabitine olasılıkta yakınsar ancak hedef dejenere bir sabit olduğu için bu dizi dağılımda yakınsama özelliği göstermez.

Answer

Zayıf Büyük Sayılar Yasası (WLLN) uyarınca Xˉn\bar{X}_n dizisi olasılıkta μX\mu_X sabitine yakınsar; Slutsky teoremi gereğince de olasılıkta sabite yakınsayan bir dizi ile dağılımda rastgele bir değişkene yakınsayan TnT_n dizisinin çarpımı, limitlerinin çarpımına (μX⋅T\mu_X \cdot T) dağılımda yakınsar.
Zayıf Büyük Sayılar Yasası (WLLN) uyarınca, beklenen değeri μX\mu_X ve varyansı sonlu olan bağımsız dizilerde örneklem ortalaması (Xˉn\bar{X}_n) olasılıkta μX\mu_X sabitine yakınsar. Slutsky teoremi, olasılıkta belirli bir sabite yakınsayan bir dizi ile dağılımda herhangi bir rastgele değişkene yakınsayan dizinin çarpımının, bu limitlerin çarpımına dağılımda yakınsayacağını ispatlar. Bu nedenle çarpım dizisi dağılımda μX⋅T\mu_X \cdot T değişkenine yakınsar ifadesi kesinlikle doğru bir çıkarımdır.

Step-by-Step Solution

1
Zayıf Büyük Sayılar Yasasını (WLLN) Xˉn\bar{X}_n dizisine uygulama
Xˉn→pμX\bar{X}_n \xrightarrow{p} \mu_X
Örneklem ortalamasının, örneklem çapı sonsuza giderken olasılıkta kitle ortalamasına yakınsadığını belirlemek için
2
Slutsky teoreminin uygulama şartlarını kontrol etme
Xˉn→pμX\bar{X}_n \xrightarrow{p} \mu_X (sabit limit) ve Tn→dTT_n \xrightarrow{d} T (rastgele değişken limit) şartlarının sağlandığı tespit edilir.
İki dizinin cebirsel birleşiminin (çarpımının) limit davranışını bulabilmek için
3
Slutsky teoremini uygulayarak çarpım dizisinin limitini hesaplama
Xˉn⋅Tn→dμX⋅T\bar{X}_n \cdot T_n \xrightarrow{d} \mu_X \cdot T
Teorem gereğince, sabit bir limite olasılıkta yakınsayan dizi ile rastgele değişkene dağılımda yakınsayan dizinin çarpım kuralının işletilmesi

Key Concept

Olasılıkta Yakınsama, WLLN ve Slutsky Teoremi Arasındaki İlişki
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Olasılıkta Yakınsama

More questions from this topic