Examkin

Question

Difficulty: MediumOlasılıkta Yakınsama

Bir fabrikada üretilen elektronik bileşenlerin ömürleri, beklenen değeri μ=4\mu = 4 yıl ve varyansı σ2=9\sigma^2 = 9 yıl 2^2 olan bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele değişkenlerdir. Rastgele seçilen nn adet bileşenin ortalama ömrü Xˉn\bar{X}_n ile gösterilmektedir. Sistem mühendisleri, bileşenlerin toplu performansını değerlendirmek için Kn=12Xˉn+XˉnK_n = \frac{12}{\bar{X}_n} + \sqrt{\bar{X}_n} şeklinde yeni bir asimptotik performans gösterge dizisi tanımlamıştır.

Buna göre, örneklem hacmi büyüdükçe (n→∞n \to \infty) KnK_n dizisinin asimptotik davranışı hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

  1. Sürekli Dönüşüm Teoremi (Continuous Mapping Theorem) gereği, KnK_n dizisi olasılıkta 55 değerine yakınsar.Answer
  2. B
    Merkezi Limit Teoremi gereği Xˉn\bar{X}_n normal dağılıma yakınsadığı için, KnK_n dizisi de normal dağılıma yakınsar ancak sabit bir değere olasılıkta yakınsamaz.
  3. C
    Beklenen değerin doğrusallığı gereği KnK_n dizisinin limiti 124+4=5\frac{12}{4} + \sqrt{4} = 5 olarak hesaplanır, ancak varyans sonsuza gideceği için dizi olasılıkta ıraksar.
  4. D
    Xˉn\bar{X}_n sürekli bir rastgele değişken olduğundan, KnK_n dizisinin tam olarak 55 gibi sabit bir değere olasılıkta yakınsama ihtimali sıfırdır.
  5. E
    n→∞n \to \infty iken Xˉn\bar{X}_n'nin varyansı 99 olarak kalacağından, KnK_n dizisi sadece dağılımda yakınsar, olasılıkta yakınsamaz.

Answer

KnK_n dizisi Sürekli Dönüşüm Teoremi (Continuous Mapping Theorem) gereği olasılıkta 55 değerine yakınsar.
Zayıf Büyük Sayılar Yasasına (WLLN) göre n→∞n \to \infty iken örneklem ortalaması Xˉn\bar{X}_n, kitle ortalaması olan μ=4\mu = 4 değerine olasılıkta yakınsar. Olasılıkta yakınsama, sürekli fonksiyonlar altında korunur (Sürekli Dönüşüm Teoremi / Continuous Mapping Theorem). g(x)=12x+xg(x) = \frac{12}{x} + \sqrt{x} fonksiyonu x=4x = 4 noktasında sürekli olduğundan, dizi olasılıkta g(4)=124+4=5g(4) = \frac{12}{4} + \sqrt{4} = 5 değerine yakınsar.

Step-by-Step Solution

1
Örneklem ortalamasının (Xˉn\bar{X}_n) olasılıkta nereye yakınsadığını belirle.
Zayıf Büyük Sayılar Yasası (WLLN) gereği Xˉn→pE[Xi]=4\bar{X}_n \xrightarrow{p} E[X_i] = 4.
Bağımsız ve aynı dağılımlı, sonlu beklenen değere sahip değişkenlerin örneklem ortalaması kitle ortalamasına olasılıkta yakınsar.
2
KnK_n dizisini ifade eden g(x)g(x) fonksiyonunu tanımla ve sürekliliğini kontrol et.
g(x)=12x+xg(x) = \frac{12}{x} + \sqrt{x} fonksiyonu tanımlanır. Bu fonksiyon x=4x = 4 noktasında süreklidir.
Sürekli Dönüşüm Teoremini (Continuous Mapping Theorem) uygulayabilmek için fonksiyonun yakınsama noktasında sürekli olması gerekir.
3
Sürekli Dönüşüm Teoremini uygulayarak KnK_n dizisinin olasılıksal limitini hesapla.
g(Xˉn)→pg(4)g(\bar{X}_n) \xrightarrow{p} g(4) olur. Buradan g(4)=124+4=3+2=5g(4) = \frac{12}{4} + \sqrt{4} = 3 + 2 = 5 elde edilir.
Eğer Xn→pcX_n \xrightarrow{p} c ve gg fonksiyonu cc noktasında sürekli ise, g(Xn)→pg(c)g(X_n) \xrightarrow{p} g(c)'dir.

Key Concept

Zayıf Büyük Sayılar Yasası ve Sürekli Dönüşüm Teoremi (Continuous Mapping Theorem)
Rate this question

Topics

Olasılıkta Yakınsama

More questions from this topic