Examkin

Question

Difficulty: MediumOtokovaryans Fonksiyonu ve Özellikleri

Zayıf durağan (kovaryans durağan) bir {Xt}\{X_t\} stokastik süreci için otokovaryans fonksiyonu γ(k)=Cov(Xt,Xt−k)\gamma(k) = Cov(X_t, X_{t-k}) şeklinde tanımlanmaktadır.

Buna göre, bu fonksiyonun matematiksel özellikleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

  1. A
    Otokovaryans fonksiyonu tek (antisimetrik) bir fonksiyondur; yani her kk için γ(k)=−γ(−k)\gamma(k) = -\gamma(-k) eşitliği sağlanır.
  2. Cauchy-Schwarz eşitsizliği uyarınca, her kk gecikmesi için ∣γ(k)∣≤γ(0)|\gamma(k)| \leq \gamma(0) bağıntısı her zaman geçerlidir.Answer
  3. C
    γ(0)\gamma(0) değeri sürecin beklenen değerini (E[Xt]E[X_t]) temsil eder ve durağan süreçlerde her zaman pozitif bir sabit değerdir.
  4. D
    Sürecin durağan kalabilmesi için otokovaryans değerlerinin tüm kk gecikmeleri için sadece pozitif olması zorunludur.
  5. E
    Otokovaryans fonksiyonu, gecikme miktarı kk arttıkça her zaman monoton azalan bir yapı sergilemek zorundadır.

Answer

Cauchy-Schwarz eşitsizliği uyarınca, her kk gecikmesi için otokovaryans fonksiyonunun mutlak değeri varyans değerinden (γ(0)\gamma(0)) büyük olamaz.
Cauchy-Schwarz eşitsizliğine göre, iki rassal değişken arasındaki kovaryansın karesi, bu değişkenlerin varyanslarının çarpımından büyük olamaz. Zayıf durağan bir süreçte her zaman dilimi için varyans sabit (γ(0)\gamma(0)) olduğundan, herhangi bir gecikmedeki otokovaryansın mutlak değeri asla varyans değerini aşamaz.

Step-by-Step Solution

1
Otokovaryans fonksiyonunun tanımını analiz et.
γ(k)=Cov(Xt,Xt−k)\gamma(k) = Cov(X_t, X_{t-k}) olarak tanımlanır.
Fonksiyonun temel yapısını anlamak için tanım gereklidir.
2
Sıfır gecikmedeki (k=0k=0) değeri belirle.
γ(0)=Cov(Xt,Xt)=Var(Xt)\gamma(0) = Cov(X_t, X_t) = Var(X_t) olur.
Sıfır gecikmedeki otokovaryansın varyansa eşit olduğu gösterilmelidir.
3
Cauchy-Schwarz eşitsizliğini uygula.
∣Cov(X,Y)∣≤Var(X)Var(Y)|Cov(X, Y)| \leq \sqrt{Var(X) Var(Y)} bağıntısından ∣γ(k)∣≤γ(0)γ(0)|\gamma(k)| \leq \sqrt{\gamma(0) \gamma(0)} yani ∣γ(k)∣≤γ(0)|\gamma(k)| \leq \gamma(0) elde edilir.
Otokovaryansın üst sınırının varyans tarafından belirlendiğini kanıtlamak için.
4
Simetri özelliğini kontrol et.
γ(k)=γ(−k)\gamma(k) = \gamma(-k) olduğu için fonksiyon simetriktir.
Seçeneklerdeki antisimetri iddiasını çürütmek için.

Key Concept

Otokovaryans Fonksiyonunun Sınırlılık ve Simetri Özellikleri
Rate this question

Topics

Otokovaryans Fonksiyonu ve Özellikleri

More questions from this topic