Examkin

Question

Difficulty: MediumOtokovaryans Fonksiyonu ve Özellikleri

Zayıf durağan (kovaryans durağan) bir {Xt}\{X_t\} zaman serisi sürecinin otokovaryans fonksiyonu γ(k)=Cov(Xt,Xt−k)\gamma(k) = Cov(X_t, X_{t-k}) şeklinde tanımlanmaktadır. Buna göre, otokovaryans fonksiyonunun özellikleri ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

  1. Her kk gecikmesi için ∣γ(k)∣≤γ(0)|\gamma(k)| \leq \gamma(0) eşitsizliği her zaman sağlanır.Answer
  2. B
    Otokovaryans fonksiyonu başlangıç noktasına göre tek fonksiyondur; yani γ(k)=−γ(−k)\gamma(k) = -\gamma(-k) bağıntısı geçerlidir.
  3. C
    γ(0)\gamma(0) değeri sürecin standart sapmasını (sd(Xt)sd(X_t)) ifade eder.
  4. D
    Süreç zayıf durağan olduğu için otokovaryans değeri sadece zaman noktasına (tt) bağlıdır, gecikmeye (kk) bağlı değildir.
  5. E
    Otokovaryans fonksiyonunun alabileceği tüm değerler her zaman [−1,1][-1, 1] kapalı aralığındadır.

Answer

Her kk gecikmesi için otokovaryans fonksiyonunun mutlak değeri, sıfır gecikmesindeki değerden (varyanstan) büyük olamaz; yani ∣γ(k)∣≤γ(0)|\gamma(k)| \leq \gamma(0) ifadesi doğrudur.
Zayıf durağan bir süreçte, herhangi bir gecikmedeki otokovaryansın büyüklüğü, Cauchy-Schwarz eşitsizliği uyarınca sürecin varyansını (yani γ(0)\gamma(0) değerini) aşamaz. Bu durum matematiksel olarak ∣γ(k)∣≤γ(0)|\gamma(k)| \leq \gamma(0) şeklinde ifade edilir.

Step-by-Step Solution

1
Otokovaryans fonksiyonunun tanımını yapın.
γ(k)=E[(Xt−μ)(Xt−k−μ)]\gamma(k) = E[(X_t - \mu)(X_{t-k} - \mu)]
Sürecin durağanlığı altında otokovaryansın sadece gecikmeye bağlı olduğunu belirlemek için.
2
Sıfır gecikmesi (k=0k=0) için değeri hesaplayın.
γ(0)=E[(Xt−μ)2]=Var(Xt)\gamma(0) = E[(X_t - \mu)^2] = Var(X_t)
Otokovaryans fonksiyonunun başlangıç değerinin varyans olduğunu kanıtlamak için.
3
Cauchy-Schwarz eşitsizliğini uygulayın.
∣Cov(Xt,Xt−k)∣≤Var(Xt)Var(Xt−k)|Cov(X_t, X_{t-k})| \leq \sqrt{Var(X_t) Var(X_{t-k})}
İki rassal değişken arasındaki kovaryansın üst sınırını belirlemek için.
4
Durağanlık varsayımı ile sonucu sadeleştirin.
∣γ(k)∣≤γ(0)γ(0)=γ(0)|\gamma(k)| \leq \sqrt{\gamma(0) \gamma(0)} = \gamma(0)
Sürecin varyansı her noktada aynı olduğu için (%γ(0)%\%\gamma(0)\%) eşitsizliği nihai formuna ulaştırılır.

Key Concept

Otokovaryans Fonksiyonu Sınırlılık Özelliği

Practice More

Benzer bir mantıkla, otokorelasyon fonksiyonunun (ACF) özelliklerini ve simetrisini inceleyen soruları çözmek konuyu pekiştirecektir.

Alternative Method

Otokorelasyon fonksiyonu (rk=γ(k)/γ(0)r_k = \gamma(k) / \gamma(0)) üzerinden düşünerek, ∣rk∣≤1|r_k| \leq 1 olduğu bilindiğinden, paydadaki γ(0)\gamma(0) (varyans) pozitif olduğundan ∣γ(k)∣≤γ(0)|\gamma(k)| \leq \gamma(0) sonucuna hızlıca varılabilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Otokovaryans Fonksiyonu ve Özellikleri

More questions from this topic