\mathbf{X}, p \times 1 boyutlu, ortalama vektörü \boldsymbol{\mu} ve varyans-kovaryans mat… — KPSS İstatistik

$\mathbf{X}$ , $p \times 1$ boyutlu, ortalama vektörü $\boldsymbol{\mu}$ ve varyans-kovaryans matrisi $\boldsymbol{\Sigma}$ olan çok değişkenli normal dağılıma sahip bir rasgele vektördür. $\mathbf{A}$ , $k \times p$ boyutlu sabit bir matris ve $\mathbf{b}$ , $k \times 1$ boyutlu sabit bir vektör olmak üzere, $\mathbf{Y} = \mathbf{A}\mathbf{X} + \mathbf{b}$ doğrusal dönüşümü tanımlanıyor.

Buna göre, $\mathbf{Y}$ rasgele vektörünün moment çıkaran fonksiyonu olan $M_{\mathbf{Y}}(\mathbf{t})$ aşağıdakilerden hangisidir?

$\exp\left(\mathbf{t}'(\mathbf{A}\boldsymbol{\mu} + \mathbf{b}) + \frac{1}{2}\mathbf{t}'(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}')\mathbf{t}\right)$ Answer
B
$\exp\left(\mathbf{t}'(\mathbf{A}\boldsymbol{\mu} + \mathbf{b}) + \frac{1}{2}\mathbf{t}'(\mathbf{A}'\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A})\mathbf{t}\right)$
C
$\exp\left(\mathbf{t}'(\mathbf{A}\boldsymbol{\mu} + \mathbf{b}) - \frac{1}{2}\mathbf{t}'(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}')\mathbf{t}\right)$
D
$\exp\left(\mathbf{t}'(\mathbf{A}\boldsymbol{\mu} + \mathbf{b}) + \mathbf{t}'(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}')\mathbf{t}\right)$
E
$\exp\left(\mathbf{t}'(\mathbf{A}\boldsymbol{\mu} + \mathbf{b}) + \frac{1}{2} iz(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}') \mathbf{t}'\mathbf{t}\right)$

Answer

Doğru cevap,

\mathbf{Y}

vektörünün beklenen değerini

\mathbf{A}\boldsymbol{\mu} + \mathbf{b}

ve varyans-kovaryans matrisini

\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}'

olarak alıp standart üssel formülde yerine yazan ifadedir.

Çok değişkenli normal dağılıma sahip

\mathbf{X}

vektörünün

\mathbf{Y} = \mathbf{A}\mathbf{X} + \mathbf{b}

doğrusal dönüşümü de normal dağılır. Yeni ortalama vektörü

E(\mathbf{Y}) = \mathbf{A}\boldsymbol{\mu} + \mathbf{b}

ve yeni varyans-kovaryans matrisi

Cov(\mathbf{Y}) = \mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}'

olur. Moment çıkaran fonksiyonun genel kalıbı

M_{\mathbf{Y}}(\mathbf{t}) = \exp(\mathbf{t}'\mu_{\mathbf{Y}} + \frac{1}{2}\mathbf{t}'\Sigma_{\mathbf{Y}}\mathbf{t})

olduğundan, doğru seçenek bu parametrelerin eksiksiz yerleştirildiği ifadedir.

Step-by-Step Solution

\mathbf{Y} = \mathbf{A}\mathbf{X} + \mathbf{b}

vektörünün beklenen değerini (ortalama vektörünü) hesaplama.

E(\mathbf{Y}) = E(\mathbf{A}\mathbf{X} + \mathbf{b}) = \mathbf{A}E(\mathbf{X}) + \mathbf{b} = \mathbf{A}\boldsymbol{\mu} + \mathbf{b}

Moment çıkaran fonksiyonun birinci terimi, dağılımın ortalama vektörünü gerektirir.

\mathbf{Y}

vektörünün varyans-kovaryans matrisini hesaplama.

Cov(\mathbf{Y}) = Cov(\mathbf{A}\mathbf{X} + \mathbf{b}) = \mathbf{A}Cov(\mathbf{X})\mathbf{A}' = \mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}'

Moment çıkaran fonksiyonun ikinci (karesel) terimi, dağılımın varyans-kovaryans matrisini kullanır. Sabit vektörün varyansı sıfırdır ve sabit matris formüle

\mathbf{A}(\cdot)\mathbf{A}'

şeklinde yansır.

Elde edilen ortalama ve varyans-kovaryans değerlerini çok değişkenli normal dağılımın moment çıkaran fonksiyonu genel formülünde yerine koyma.

M_{\mathbf{Y}}(\mathbf{t}) = \exp\left(\mathbf{t}'E(\mathbf{Y}) + \frac{1}{2}\mathbf{t}'Cov(\mathbf{Y})\mathbf{t}\right) = \exp\left(\mathbf{t}'(\mathbf{A}\boldsymbol{\mu} + \mathbf{b}) + \frac{1}{2}\mathbf{t}'(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}')\mathbf{t}\right)

Çok değişkenli normal dağılımın moment çıkaran fonksiyonu sadece ortalama vektörü ve varyans-kovaryans matrisine bağlıdır.

Key Concept

Çok Değişkenli Normal Dağılımda Doğrusal Dönüşümler ve Moment Çıkaran Fonksiyon

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic