Examkin

Question

Difficulty: MediumÇok Değişkenli Normal Dağılımın Moment Çıkaran Fonksiyonu

Bir finansal risk analizinde kullanılan X1X_1 ve X2X_2 getiri oranları, ortaklaşa (iki değişkenli) normal dağılıma sahiptir. Bu değişkenlerin ortak moment çıkaran fonksiyonu aşağıdaki gibi modellenmiştir:

M(t1,t2)=e3t1+2t2+t12−t1t2+2t22M(t_1, t_2) = e^{3t_1 + 2t_2 + t_1^2 - t_1 t_2 + 2t_2^2}

Bir analist, bu iki finansal varlığı kullanarak Y=X1−2X2Y = X_1 - 2X_2 şeklinde yeni bir portföy değişkeni tanımlamıştır.

Buna göre, oluşturulan YY değişkeninin varyansı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    7
  2. B
    11
  3. C
    14
  4. D
    18
  5. 22Answer

Answer

Oluşturulan Y değişkeninin varyansı 22'dir.
Çok değişkenli normal dağılımda moment çıkaran fonksiyon genel formülü M(t)=exp⁡(t′μ+12t′Σt)M(\mathbf{t}) = \exp(\mathbf{t}'\boldsymbol{\mu} + \frac{1}{2}\mathbf{t}'\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{t}) şeklindedir. Verilen fonksiyonda üslü ifadenin karesel kısmı 12(2t12−2t1t2+4t22)\frac{1}{2}(2t_1^2 - 2t_1 t_2 + 4t_2^2) olarak düzenlendiğinde, X1X_1'in varyansı σ12=2\sigma_1^2 = 2, X2X_2'nin varyansı σ22=4\sigma_2^2 = 4 ve kovaryans σ12=−1\sigma_{12} = -1 olarak bulunur. Y=X1−2X2Y = X_1 - 2X_2 doğrusal dönüşümünün varyansı ise V(Y)=V(X1)+4V(X2)−4Cov(X1,X2)=2+4(4)−4(−1)=22V(Y) = V(X_1) + 4V(X_2) - 4Cov(X_1, X_2) = 2 + 4(4) - 4(-1) = 22 sonucunu verir. (Alternatif olarak MY(t)=M(t,−2t)M_Y(t) = M(t, -2t) yazılarak e−t+11t2e^{-t + 11t^2} elde edilir, buradan 12σY2=11  ⟹  σY2=22\frac{1}{2}\sigma_Y^2 = 11 \implies \sigma_Y^2 = 22 bulunur.)

Step-by-Step Solution

1
Moment çıkaran fonksiyondan (MGF) parametreleri belirleme
12σ12=1  ⟹  σ12=2\frac{1}{2}\sigma_1^2 = 1 \implies \sigma_1^2 = 2
σ12=−1\sigma_{12} = -1
12σ22=2  ⟹  σ22=4\frac{1}{2}\sigma_2^2 = 2 \implies \sigma_2^2 = 4
Çok değişkenli normal dağılımın MGF'sinde varyans ve kovaryans değerleri karesel terimlerin katsayılarından elde edilir.
2
Doğrusal bileşimin varyans formülünü uygulama
V(Y)=2+4(4)−4(−1)=2+16+4=22V(Y) = 2 + 4(4) - 4(-1) = 2 + 16 + 4 = 22
Varyans operatörünün doğrusal kombinasyonlara uygulanma kuralı gereği, katsayıların kareleri alınır ve çapraz terimlerde katsayılar çarpımı kovaryans ile çarpılır.

Key Concept

Çok Değişkenli Normal Dağılımın Moment Çıkaran Fonksiyonu
Rate this question

Topics

Çok Değişkenli Normal Dağılımın Moment Çıkaran Fonksiyonu

More questions from this topic