Bir sunucu sistemindeki kritik bir donanım parçasının arızalanma süresini (ay cinsinden) m… — KPSS İstatistik

Bir sunucu sistemindeki kritik bir donanım parçasının arızalanma süresini (ay cinsinden) modelleyen sürekli bir $X$ rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu (MGF), $t < \frac{1}{2}$ olmak üzere,

M_X(t) = \frac{1}{(1 - 2t)^3}

olarak verilmiştir.

Buna göre, bu donanım parçasının arızalanma süresinin varyansı, $Var(X)$ aşağıdakilerden hangisidir?

A
3
B
6
12Answer
D
36
E
48

Answer

Doğru cevap 12'dir.

Sürekli bir rastgele değişkenin varyansı, moment çıkaran fonksiyon üzerinden

Var(X) = M''_X(0) - [M'_X(0)]^2

formülü ile hesaplanır. Birinci türev

M'_X(0) = 6

ve ikinci türev

M''_X(0) = 48

olarak bulunur. Formülde yerine konulduğunda

48 - 36 = 12

elde edilir.

Step-by-Step Solution

Moment çıkaran fonksiyonu üslü ifade olarak yeniden yazma

M_X(t) = (1 - 2t)^{-3}

Türev alma işlemlerini daha kolay ve hatasız gerçekleştirmek için.

MGF'nin birinci türevini alma ve t=0 için beklenen değeri (

E[X]

) bulma

M'_X(t) = -3(1 - 2t)^{-4} \cdot (-2) = 6(1 - 2t)^{-4}

E[X] = M'_X(0) = 6(1 - 0)^{-4} = 6

Varyans hesabında kullanılacak olan rastgele değişkenin birinci momentini (ortalama) bulmak için.

MGF'nin ikinci türevini alma ve t=0 için ikinci momenti (

E[X^2]

) bulma

M''_X(t) = -24(1 - 2t)^{-5} \cdot (-2) = 48(1 - 2t)^{-5}

E[X^2] = M''_X(0) = 48(1 - 0)^{-5} = 48

Varyans formülündeki ikinci moment terimini elde etmek için.

Varyans formülünü (

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2

) uygulama

Var(X) = 48 - 6^2 = 48 - 36 = 12

Beklenen değer ve ikinci momenti birleştirerek dağılımın varyansına ulaşmak için.

Key Concept

Moment Çıkaran Fonksiyon ile Beklenen Değer ve Varyans Hesabı

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic