Sürekli ve kesikli bileşenleri olan bir X rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu … — KPSS İstatistik

Sürekli ve kesikli bileşenleri olan bir $X$ rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu (MGF), $t < \frac{1}{3}$ olmak üzere,

M_X(t) = c + \frac{1}{3} e^{2t} + \frac{c}{1 - 3t}

olarak verilmiştir. Burada $c$ bir sabit gerçel sayıdır.

Buna göre, $X$ rastgele değişkeninin varyansı ( $Var(X)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\frac{22}{3}$
B
$1$
$\frac{41}{9}$ Answer
D
$\frac{53}{9}$
E
$3$

Answer

Rastgele değişkenin varyansı

\frac{41}{9}

'dur.

Moment çıkaran fonksiyonlar her zaman

t=0

anında

1

'e eşit olmalıdır. Bu kuraldan yararlanarak

M_X(0) = c + 1/3 + c = 1

denkleminden

c=1/3

sabiti bulunur. İfade

M_X(t) = 1/3 + 1/3 e^{2t} + 1/3(1-3t)^{-1}

şeklini alır. Birinci moment

M_X'(0)

ile

5/3

, ikinci moment ise

M_X''(0)

ile

22/3

olarak elde edilir. Varyans formülü olan

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2

eşitliğinde değerler yerine konduğunda sonucun

41/9

olduğu kesinleşir.

Step-by-Step Solution

M_X(0) = 1

kuralını kullanarak

c

sabitini bul.

M_X(0) = c + \frac{1}{3}e^0 + \frac{c}{1 - 0} = 2c + \frac{1}{3} = 1 \implies 2c = \frac{2}{3} \implies c = \frac{1}{3}

Moment çıkaran fonksiyonların tanımı gereği, her zaman

t=0

noktasındaki değerleri 1'e eşittir.

c

değerini yerine koyup

X

'in beklenen değerini (

E[X]

) bulmak için MGF'nin

t

'ye göre birinci türevini alıp

t=0

yaz.

M_X'(t) = \frac{d}{dt} \left[ \frac{1}{3} + \frac{1}{3} e^{2t} + \frac{1}{3} (1 - 3t)^{-1} \right] = \frac{2}{3} e^{2t} + (1 - 3t)^{-2}

. Buradan

E[X] = M_X'(0) = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}

bulunur.

Bir rastgele değişkenin birinci momenti (beklenen değeri), moment çıkaran fonksiyonun birinci türevinin

t=0

noktasındaki değerine eşittir.

X

'in ikinci momentini (

E[X^2]

) bulmak için MGF'nin ikinci türevini alıp

t=0

yaz.

M_X''(t) = \frac{d}{dt} \left[ \frac{2}{3} e^{2t} + (1 - 3t)^{-2} \right] = \frac{4}{3} e^{2t} + 6(1 - 3t)^{-3}

. Buradan

E[X^2] = M_X''(0) = \frac{4}{3} + 6 = \frac{22}{3}

bulunur.

İkinci moment (E[X^2]), MGF'nin ikinci türevinin

t=0

noktasındaki değerine eşittir.

Varyans formülünü uygula:

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2

Var(X) = \frac{22}{3} - \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{66}{9} - \frac{25}{9} = \frac{41}{9}

Bir dağılımın varyansı, ikinci momentten birinci momentin karesinin çıkarılmasıyla elde edilir.

Key Concept

Moment Çıkaran Fonksiyonlar (MGF) ile Beklenen Değer ve Varyans Hesabı

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic