Bir meteoroloji istasyonunda ölçülen günlük sıcaklık değerleri X (Celsius) rastgele değişk… — KPSS İstatistik

Bir meteoroloji istasyonunda ölçülen günlük sıcaklık değerleri $X$ (Celsius) rastgele değişkeni ile ifade edilmekte olup bu değişkenin moment çıkaran fonksiyonu $M_X(t)$ olarak belirlenmiştir. İstasyon verileri, uluslararası raporlama standartlarına uyum sağlamak amacıyla $Y = 1,8X + 32$ dönüşümü kullanılarak Fahrenheit birimine çevrilmektedir. Buna göre, Fahrenheit cinsinden ifade edilen $Y$ rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu ( $M_Y(t)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

$e^{32t} M_X(1,8t)$ Answer
B
$1,8 M_X(t) + 32$
C
$e^{1,8t} M_X(32t)$
D
$M_X(1,8t + 32)$
E
$32 e^{1,8t} M_X(t)$

Answer

Yeni değişkenin moment çıkaran fonksiyonu

e^{32t} M_X(1,8t)

ifadesidir.

Moment çıkaran fonksiyonlar için temel özellik

M_{aX+b}(t) = e^{bt} M_X(at)

şeklindedir. Soruda verilen

Y = 1,8X + 32

dönüşümünde

a = 1,8

b = 32

değerleri bu genel formülde yerine yazıldığında, yeni moment çıkaran fonksiyonun üstel teriminde sabit çarpanın (

e^{32t}

), fonksiyonun argümanında ise katsayının (

1,8t

) yer aldığı görülür.

Step-by-Step Solution

Moment çıkaran fonksiyonun (MGF) tanımını yazın.

M_Y(t) = E[e^{tY}]

MGF, rastgele değişkenin üstel fonksiyonunun beklenen değeridir.

Y = 1,8X + 32

dönüşümünü tanımda yerine koyun.

M_Y(t) = E[e^{t(1,8X + 32)}]

Dönüşümü fonksiyona yerleştirerek

X

cinsinden ifade etmek gerekir.

Üslü sayıların çarpım özelliğini kullanarak ifadeyi ayrıştırın.

M_Y(t) = E[e^{1,8tX} \cdot e^{32t}]

e^{A+B} = e^A \cdot e^B

kuralı uygulanır.

e^{32t}

terimi

X

'e bağlı olmadığı için beklenen değer dışına alın.

M_Y(t) = e^{32t} E[e^{(1,8t)X}]

Sabit çarpanlar beklenen değerin dışına çıkarılabilir.

Beklenen değer kısmını

M_X(t)

tanımıyla ilişkilendirin.

M_Y(t) = e^{32t} M_X(1,8t)

E[e^{uX}] = M_X(u)

olduğu için

u = 1,8t

alınarak sonuç elde edilir.

Key Concept

Moment Çıkaran Fonksiyonun Doğrusal Dönüşüm Özelliği

Practice More

Bağımsız iki rastgele değişkenin toplamının MGF'sinin, bu değişkenlerin bireysel MGF'lerinin çarpımına eşit olduğu özelliğini inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Topics