X sürekli rastgele değişkeni (-3, 3) aralığında tanımlı bir sürekli düzgün (uniform) dağıl… — KPSS İstatistik

$X$ sürekli rastgele değişkeni $(-3, 3)$ aralığında tanımlı bir sürekli düzgün (uniform) dağılıma sahiptir. Bu rastgele değişken kullanılarak $Y = X^2$ dönüşümü yapılıyor. Buna göre, $0 < y < 9$ aralığında $Y$ değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonu $F_Y(y)$ aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{\sqrt{y}}{3}$ Answer
B
$\frac{\sqrt{y} + 3}{6}$
C
$\frac{\sqrt{y}}{6}$
D
$\frac{y}{9}$
E
$\frac{\sqrt{y}}{9}$

Answer

Dönüşüm sonucunda elde edilen birikimli dağılım fonksiyonu

\frac{\sqrt{y}}{3}

şeklindedir.

Doğru yanıt olan

\frac{\sqrt{y}}{3}

ifadesine ulaşmak için,

X

değişkeninin

(-3, 3)

aralığındaki simetrik yapısı göz önüne alınarak

P(X^2 \leq y) = P(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y})

dönüşümü yapılmalıdır. Bu aralıkta

1/6

olan sabit yoğunluk fonksiyonu entegre edildiğinde istenen sonuç elde edilir.

Step-by-Step Solution

X

değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunu (PDF) belirleyin.

f_X(x) = \frac{1}{3 - (-3)} = \frac{1}{6}

(

-3 < x < 3

için)

Düzgün dağılımın tanımı gereği yoğunluk

1/(b-a)

formülüyle bulunur.

Y = X^2

için birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) tanımını yazın.

F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y)

Birikimli dağılım fonksiyonu, değişkenin belirli bir değerden küçük veya eşit olma olasılığıdır.

Eşitsizliği

X

değişkeni cinsinden ifade edin.

P(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y})

X^2 \leq y

eşitsizliği,

X

değişkeninin

-\sqrt{y}

ile

\sqrt{y}

arasında olmasını gerektirir.

Olasılığı

X

'in yoğunluk fonksiyonu üzerinden hesaplayın.

F_Y(y) = \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \frac{1}{6} dx = \frac{1}{6} [x]_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} = \frac{\sqrt{y} - (-\sqrt{y})}{6} = \frac{2\sqrt{y}}{6} = \frac{\sqrt{y}}{3}

Sürekli rastgele değişkenlerde olasılık, yoğunluk fonksiyonunun ilgili aralıktaki integraliyle bulunur.

Key Concept

Dağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi

Estimated Time:1m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics