Bir üretim tesisinde iki farklı sensörden alınan X ve Y sürekli rastgele değişkenlerine ai… — KPSS İstatistik

Bir üretim tesisinde iki farklı sensörden alınan $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenlerine ait ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

f(x,y) = \begin{cases} 2e^{-(x+y)}, & 0 \leq x \leq y < \infty \\\\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu iki rastgele değişkenin özellikleri ve bağımsızlık durumu ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

A
Fonksiyon $f(x,y) = (2e^{-x})(e^{-y})$ şeklinde $x$ ve $y$ 'nin bağımsız fonksiyonlarının çarpımı olarak yazılabildiği için, sınır kısıtlamalarına bakılmaksızın bu değişkenler birbirinden bağımsızdır.
B
$X$ 'in marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu $f_X(x)$ elde etmek için, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun $y$ değişkenine göre integrali $0$ 'dan $\infty$ 'a kadar hesaplanmalıdır.
Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu çarpanlarına ayrılabilir formda olsa da, değişkenlerin tanımlı olduğu $0 \leq x \leq y$ bölgesi bir dikdörtgen oluşturmadığından $X$ ve $Y$ bağımsız değildir.Answer
D
$X$ ve $Y$ değişkenleri sürekli olduğundan, bağımsızlık durumlarına bakılmaksızın iki değişkenin çarpımının beklenen değeri için daima $E[XY] = E[X]E[Y]$ eşitliği sağlanır.
E
Eğer bu iki değişkenin hesaplanan kovaryans değeri sıfır ( $Cov(X,Y)=0$ ) çıkarsa, tanımlı oldukları $x \leq y$ kısıtlamasına rağmen bu değişkenlerin kesinlikle bağımsız olduğu ispatlanmış olur.

Answer

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu çarpanlarına ayrılabilir formda olsa da, değişkenlerin tanımlı olduğu

0 \leq x \leq y

bölgesi bir dikdörtgen oluşturmadığından

X

Y

bağımsız değildir.

Sürekli iki rastgele değişkenin bağımsız olabilmesi için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun her noktada

f(x,y) = f_X(x) f_Y(y)

şartını sağlaması gerekir. Bu durum, yalnızca fonksiyon kuralının çarpanlarına ayrılabilmesini değil, aynı zamanda değişkenlerin tanımlı olduğu bölgenin (destek kümesinin) kartezyen bir çarpım (bir dikdörtgen bölge) olmasını da zorunlu kılar. Sorudaki

0 \leq x \leq y < \infty

eşitsizliğinde

Y

'nin alabileceği en küçük değer

X

'e bağlıdır. Sınırlar birbirine bağlı olduğundan bölge kartezyen çarpım özelliği taşımaz ve bu yüzden iki değişken bağımlı olarak nitelendirilir.

Step-by-Step Solution

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun kuralını bağımsızlık açısından değerlendirme.

f(x,y)

kuralı

2e^{-x} \cdot e^{-y}

şeklinde

x

y

'ye ait terimlerin çarpımı şeklinde ayrıştırılabilmektedir.

Bağımsızlığın ilk aşaması fonksiyon kuralının

g(x)h(y)

şeklinde ayrılıp ayrılamadığını kontrol etmektir.

Değişkenlerin tanımlı olduğu bölgeyi (destek kümesini) inceleme.

Verilen eşitsizlikte

0 \leq x \leq y < \infty

şartı bulunmaktadır. Bu durum

Y

değişkeninin alacağı değerlerin alt sınırının,

X

değişkeninin aldığı değere bağlı olduğunu gösterir.

Bağımsızlık şartı sadece fonksiyon kuralı için değil, aynı zamanda olayın tanımlı olduğu durum uzayı (sınırlar) için de geçerli olmalıdır.

Sınır bağımlılığının istatistiksel sonuca olan etkisini belirleme.

Destek kümesi sınırları birbirine bağlı olduğundan, söz konusu bölge

X

Y

'nin ayrı ayrı alabileceği aralıkların kartezyen bir çarpımı (dikdörtgen bölge) değildir.

Destek kümesi kartezyen çarpım olmayan ortak dağılımlarda, marjinal fonksiyonların çarpımı ortak yoğunluk fonksiyonunu vermeyeceği için değişkenler kesinlikle bağımlıdır.

Key Concept

Sürekli Rastgele Değişkenlerde Bağımsızlık ve Destek Kümesi Şartı

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics