Sürekli X ve Y rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmi… — KPSS İstatistik

Sürekli $X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x,y) = \begin{cases} k \cdot x \cdot y, & 0 < y < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, $k$ sabitinin değeri kaçtır ve $X$ ile $Y$ rastgele değişkenlerinin bağımsızlık durumu hakkında ne söylenebilir?

A
$k = 4$ 'tür ve $X$ ile $Y$ bağımsızdır.
B
$k = 8$ 'dir ve $X$ ile $Y$ bağımsızdır.
$k = 8$ 'dir ve $X$ ile $Y$ bağımlıdır.Answer
D
$k = 4$ 'tür ve $X$ ile $Y$ bağımlıdır.
E
$k = 2$ 'dir ve $X$ ile $Y$ bağımlıdır.

Answer

k = 8

'dir ve

X

ile

Y

bağımlı rastgele değişkenlerdir.

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tüm tanımlı uzay üzerindeki toplam hacmi 1'e eşit olmalıdır. Eşitsizlikten elde edilen sınırlar

0 < y < x < 1

olduğuna göre, integral denklemi

\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} kxy \, dy \, dx = 1

şeklinde kurulmalıdır. İç integral alındığında

\frac{kx^3}{2}

sonucu elde edilir, bunu dış integrale koyup hesapladığımızda

\frac{k}{8} = 1

denklemi ortaya çıkar ve buradan

k=8

olarak bulunur. İki değişkenin bağımsızlık analizini yapmak için destek kümelerine (sınır şartlarına) bakılır:

y

'nin alabileceği üst sınırın doğrudan

x

'e bağlı olması (yani destek bölgesinin dikdörtgensel değil üçgensel olması), bir değişkenin değerinin diğerinin olasılık dağılımını kısıtladığını gösterir. Bu nedenle

X

Y

rastgele değişkenleri kesinlikle bağımlıdır.

Step-by-Step Solution

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun toplam integralini 1'e eşitleyen denklemi kurmak.

\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} k \cdot x \cdot y \, dy \, dx = 1

Herhangi bir geçerli olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu tüm uzay üzerindeki toplam integrali daima 1 olmalıdır.

İçteki integrali

y

değişkenine göre hesaplamak.

\int_{0}^{x} k \cdot x \cdot y \, dy = k \cdot x \cdot \left[\frac{y^2}{2}\right]_{0}^{x} = k \cdot x \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{k \cdot x^3}{2}

x

'i sabit kabul ederek

y

'ye göre integral alma kuralı uygulanır ve üst sınır olarak

x

yerine yazılır.

Dıştaki integrali

x

'e göre hesaplayıp

k

sabitinin değerini bulmak.

\int_{0}^{1} \frac{k \cdot x^3}{2} \, dx = \frac{k}{2} \left[\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{k}{8} = 1 \implies k = 8

x

değişkeninin alt ve üst sınırları kullanılarak integral tamamlanır ve denklemin sonucu çözülür.

Bağımsızlık durumu için değişkenlerin tanım aralığını (destek kümesini) incelemek.

Destek kümesi

0 < y < x < 1

eşitsizliği ile verilmiştir.

y

'nin alabileceği maksimum değer,

x

'in anlık değerine bağımlıdır (dikdörtgensel bir bölge oluşturmaz).

Sürekli rastgele değişkenlerin bağımsız olabilmesi için gerek ve yeter şartlardan biri, ortak destek kümesinin dik açılı (sınırların birbirinden tamamen bağımsız sabitler olduğu Kartezyen çarpım şeklinde) bir bölge olması zorunluluğudur.

Sonucu belirlemek.

X

Y

rastgele değişkenleri bağımlıdır.

Tanım aralıkları birbirine bağlı olduğu için, fonksiyon formülü ayrı ayrı çarpanlara ayrılsa bile, bir değişkenin aldığı değer diğerinin alabileceği olasılık uzayını doğrudan kısıtlar.

Key Concept

Ortak Olasılık Yoğunluk Fonksiyonlarında Sabit Hesaplaması ve Destek Kümesi Üzerinden Bağımsızlık Analizi

Alternative Method

Bağımlılık durumu, marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonları matematiksel olarak ayrı ayrı hesaplanıp çarpımlarının ortak fonksiyona eşit olmadığı gösterilerek de ispat edilebilir. Sırasıyla

f_X(x) = 4x^3

(aralık

0<x<1

) ve

f_Y(y) = 4y(1-y^2)

(aralık

0<y<1

) değerleri elde edilir.

f_X(x) \cdot f_Y(y) \neq f(x,y)

olduğu için değişkenler bağımlıdır.

Estimated Time:2m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Topics