X_1, X_2, \dots, X_n, varyansı 1 olan normal dağılımdan (N(\mu, 1)) alınmış bir rastgele ö… — KPSS İstatistik

$X_1, X_2, \dots, X_n$ , varyansı $1$ olan normal dağılımdan ( $N(\mu, 1)$ ) alınmış bir rastgele örneklemi göstermek üzere, kitle ortalamasının karesi olan $\mu^2$ parametresi tahmin edilmek istenmektedir.

Lehmann-Scheffe teoremi kullanılarak bulunacak $\mu^2$ için Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\bar{X}^2$
B
$\bar{X}^2 + \frac{1}{n}$
C
$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2 - 1$
$\bar{X}^2 - \frac{1}{n}$ Answer
E
$\bar{X}^2 - 1$

Answer

\bar{X}^2 - \frac{1}{n}

ifadesi,

\mu^2

için Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edicidir (UMVUE).

Doğru tahmin edici

\bar{X}^2 - \frac{1}{n}

olmalıdır. Lehmann-Scheffe teoremine göre, bir parametre için UMVUE, o parametrenin tam ve yeterli istatistiğinin yansız bir fonksiyonu olmalıdır. Normal dağılımda

\mu

için tam ve yeterli istatistik

\bar{X}

'tir.

Var(\bar{X}) = E[\bar{X}^2] - (E[\bar{X}])^2

bağıntısından

\frac{1}{n} = E[\bar{X}^2] - \mu^2

eşitliği yazılır. Düzenlendiğinde

E[\bar{X}^2 - \frac{1}{n}] = \mu^2

olduğu görülür. Tam ve yeterli istatistiğin yansız fonksiyonu UMVUE olduğundan doğru yanıt budur.

Step-by-Step Solution

Parametre için tam ve yeterli (complete and sufficient) istatistiği belirlemek.

Bilinen varyanslı normal dağılımda (

N(\mu, 1)

), örneklem ortalaması olan

\bar{X}

, kitle ortalaması

\mu

için tam ve yeterli istatistiktir.

Lehmann-Scheffe teoremine göre; bir parametre için UMVUE arıyorsak, bu tahmin edici tam ve yeterli istatistiğin bir fonksiyonu olmalıdır.

Tam ve yeterli istatistiğin momentlerini (

\bar{X}

'in beklenen değerini ve varyansını) yazmak.

E[\bar{X}] = \mu

Var(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n} = \frac{1}{n}

bulunur.

\mu^2

parametresine ulaşacak yansız bir fonksiyon kurgulayabilmek için

\bar{X}

'in özelliklerine ihtiyacımız vardır.

\bar{X}^2

'nin beklenen değerini hesaplamak.

Varyans formülünden yola çıkarak:

E[\bar{X}^2] = Var(\bar{X}) + (E[\bar{X}])^2 = \frac{1}{n} + \mu^2

eşitliği elde edilir.

\mu^2

'yi tahmin edecek istatistiğin yansızlık (unbiasedness) düzeltmesi için bu eşitlikteki sapma miktarı belirlenmelidir.

Eşitliği düzenleyerek

\mu^2

için yansız tahmin ediciyi (UMVUE) oluşturmak.

E[\bar{X}^2 - \frac{1}{n}] = \mu^2

sonucuna ulaşılır.

\bar{X}^2 - \frac{1}{n}

, tam ve yeterli istatistik olan

\bar{X}

'in bir fonksiyonu olduğu için Lehmann-Scheffe teoremine göre UMVUE'dir.

Teorem gereği, tam ve yeterli istatistiğe dayalı yansız bir tahmin edici tek (unique) olup, diğer tüm yansız tahmin edicilerden daha küçük veya onlara eşit varyansa sahiptir.

Key Concept

Lehmann-Scheffe Teoremi, tam ve yeterli bir istatistiğin fonksiyonu olarak ifade edilebilen yansız tahmin edicinin, söz konusu parametre için Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE) olduğunu ifade eder.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic