Bir kamu araştırmasında kullanılan X rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu M_X(t… — KPSS İstatistik

Bir kamu araştırmasında kullanılan $X$ rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu $M_X(t)$ olarak tanımlanmıştır. Veri standardizasyonu kapsamında bu değişken $Y = 8 - 3X$ şeklinde yeni bir $Y$ değişkenine dönüştürülmüştür.

Buna göre, $Y$ değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu ( $M_Y(t)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

$e^{8t} M_X(-3t)$ Answer
B
$e^{-3t} M_X(8t)$
C
$M_X(-3t) + 8$
D
$8 e^t M_X(-3t)$
E
$e^{8t} M_X(3t)$

Answer

Dönüşüm kuralı gereği doğru sonuç

e^{8t} M_X(-3t)

ifadesidir.

Doğru seçenek olan

e^{8t} M_X(-3t)

ifadesi,

M_{aX+b}(t) = e^{bt} M_X(at)

kuralına tam uyum sağlamaktadır. Burada

b=8

üsse gelirken,

a=-3

değeri

M_X

fonksiyonunun içindeki

t

ile çarpılmıştır.

Step-by-Step Solution

Moment çıkaran fonksiyonun (MGF) tanımını ve doğrusal dönüşüm kuralını hatırla.

M_Y(t) = E[e^{tY}]

Y = aX + b

için

M_Y(t) = e^{bt} M_X(at)

kuralı geçerlidir.

MGF yöntemiyle değişken dönüşümü yaparken beklenen değerin özellikleri kullanılır.

Verilen

Y = 8 - 3X

denklemindeki parametreleri belirle.

a = -3

b = 8

değerleri elde edilir.

Dönüşüm formülündeki katsayı ve sabitin doğru tespiti işlem hatasını önler.

Parametreleri doğrusal dönüşüm kuralına yerleştir.

M_Y(t) = e^{8t} M_X(-3t)

sonucuna ulaşılır.

b

sabiti üsse çarpan olarak gelirken,

a

katsayısı

M_X

fonksiyonunun içindeki

t

parametresiyle çarpılır.

Key Concept

Moment Çıkaran Fonksiyonların Doğrusal Dönüşüm Özelliği

Alternative Method

Alternatif olarak beklenen değer tanımı kullanılabilir:

M_Y(t) = E[e^{t(8-3X)}] = E[e^{8t} \cdot e^{-3tX}]

. Burada

e^{8t}

ifadesi

X

değişkenine bağlı olmadığı için beklentinin dışına çıkarılır ve

e^{8t} E[e^{(-3t)X}]

elde edilir. Bu da doğrudan

e^{8t} M_X(-3t)

ifadesine eşittir.

Estimated Time:45s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Topics