Examkin

Question

Difficulty: MediumMatrisin Rankı ve Lineer Bağımsızlık
kk bir gerçel sayı olmak üzere,
A=[11k1k1k11]A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & k \\ 1 & k & 1 \\ k & 1 & 1 \end{bmatrix}
matrisi veriliyor.

Buna göre, k=−2k = -2 değeri için AA matrisinin rankı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    0
  2. B
    1
  3. 2Answer
  4. D
    3
  5. E
    4

Answer

Matrisin rankı 2'dir.
Verilen k=−2k = -2 değeri matriste yerine konulduğunda elde edilen 3×33 \times 3 boyutundaki matrisin determinantı 0'dır. Bu durum, matrisin rankının boyutundan küçük olduğunu (rank < 3) gösterir. Matrisin içinde yer alan [111−2]\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} gibi 2×22 \times 2 boyutundaki minörlerin determinantı (−3-3) sıfırdan farklıdır. Sıfırdan farklı en büyük alt matrisin boyutu 2 olduğu için matrisin rankı 2'dir.

Step-by-Step Solution

1
Matriste kk yerine −2-2 yazılır.
A=[11−21−21−211]A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{bmatrix}
Rank hesaplamasına geçebilmek için öncelikle sayısal matrisin elde edilmesi gerekir.
2
3×33 \times 3 boyutundaki AA matrisinin determinantı hesaplanır.
det⁡(A)=1(−2−1)−1(1−(−2))−2(1−4)=1(−3)−1(3)−2(−3)=−3−3+6=0\det(A) = 1(-2-1) - 1(1-(-2)) - 2(1-4) = 1(-3) - 1(3) - 2(-3) = -3 - 3 + 6 = 0
Determinantın sıfır olması, matrisin tam ranklı olmadığını (rank değerinin 3'ten küçük olduğunu) ve sütun/satır vektörlerinin lineer bağımlı olduğunu gösterir.
3
Matrisin 2×22 \times 2 boyutundaki alt matrislerinin (minörlerinin) determinantları kontrol edilir.
Sol üst köşedeki 2×22 \times 2 minörün determinantı: ∣111−2∣=1(−2)−1(1)=−3≠0\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 1(-2) - 1(1) = -3 \neq 0
Sıfırdan farklı determinant değerine sahip en büyük alt kare matrisin boyutu 2 olduğundan, matrisin rankı 2 olarak belirlenir.

Key Concept

Bir matrisin rankı, determinantı sıfırdan farklı olan en büyük alt kare matrisin (minörün) boyutuna eşittir.
Rate this question

Topics

Matrisin Rankı ve Lineer Bağımsızlık