Examkin

Question

Difficulty: MediumMatrisin Rankı ve Lineer Bağımsızlık

Çok değişkenli istatistiksel analizlerde kullanılan bir veri matrisinin sütunları, analize dahil edilen değişkenleri temsil etmektedir. Üç değişkene ait gözlem değerlerinden oluşan XX veri matrisi, aşağıdaki sütun vektörleri ile tanımlanmıştır:

x1=[123],x2=[2−14],x3=[43λ]x_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad x_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix}, \quad x_3 = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \\ \lambda \end{bmatrix}

Bu üç değişkenin birbirleriyle doğrusal bağımlı (lineer bağımlı) olduğu, yani bu vektörlerin bir araya gelmesiyle oluşan 3×33 \times 3 boyutlu matrisin tam ranklı olmadığı bilinmektedir.

Buna göre, λ\lambda parametresinin değeri kaçtır?

  1. 10Answer
  2. B
    0
  3. C
    -10
  4. D
    7
  5. E
    50

Answer

10
Üç vektörün R3\mathbb{R}^3 uzayında doğrusal bağımlı olabilmesi için, bu vektörlerin sütun olarak yazıldığı 3×33 \times 3 boyutlu matrisin determinantı sıfır olmalıdır (tam ranklı olmama durumu). Determinant birinci satıra göre açıldığında −5λ+50=0-5\lambda + 50 = 0 denklemi elde edilir. Buradan λ=10\lambda = 10 olarak bulunur. Alternatif bir yaklaşımla, ilk iki vektörün doğrusal birleşimi üçüncü vektörü vermelidir (x3=2x1+x2x_3 = 2x_1 + x_2). Bu doğrusal ilişki üçüncü satıra uygulandığında 2(3)+1(4)=λ  ⟹  λ=102(3) + 1(4) = \lambda \implies \lambda = 10 sonucu doğrulanır.

Step-by-Step Solution

1
Doğrusal bağımlılık şartını belirleme
Vektörlerin oluşturduğu kare matrisin determinantı sıfır olmalıdır.
Bir kare matrisin tam ranklı olmaması (vektörlerin doğrusal bağımlı olması), ancak determinantının sıfıra eşit olmasıyla mümkündür.
2
Vektörleri kullanarak 3×33 \times 3 boyutlu AA matrisini oluşturma
A=[1242−1334λ]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & -1 & 3 \\ 3 & 4 & \lambda \end{bmatrix} matrisi elde edilir.
Determinant işlemi yapabilmek için veri vektörleri matris formunda ifade edilmelidir.
3
Matrisin determinantını hesaplayıp sıfıra eşitleme
∣A∣=1(−λ−12)−2(2λ−9)+4(8+3)=−5λ+50=0|A| = 1(-\lambda - 12) - 2(2\lambda - 9) + 4(8 + 3) = -5\lambda + 50 = 0
Doğrusal bağımlılık kuralı gereği kurulan denklem, bilinmeyen parametreyi bulmak için gereklidir.
4
Denklemi çözerek λ\lambda değerini bulma
−5λ+50=0  ⟹  5λ=50  ⟹  λ=10-5\lambda + 50 = 0 \implies 5\lambda = 50 \implies \lambda = 10
Oluşturulan birinci dereceden denklem çözülerek parametre yalnız bırakılır.

Key Concept

Kare matrislerde doğrusal bağımlılık ve determinant ilişkisi
Rate this question

Topics

Matrisin Rankı ve Lineer Bağımsızlık