Examkin

Question

Difficulty: MediumLehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici)

X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n, parametresi λ>0\lambda > 0 olan Poisson dağılımından alınmış nn hacimli bir rastgele örneklem olsun. Bir araştırmacı, Neyman Çarpanlara Ayırma teoremini kullanarak T=∑i=1nXiT = \sum_{i=1}^n X_i istatistiğinin λ\lambda için yeterli (sufficient) olduğunu göstermiştir.

Araştırmacı, λ2\lambda^2 parametresinin Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edicisini (UMVUE) Lehmann-Scheffe teoremi yardımıyla bulmak istemektedir.

Buna göre, araştırmacının Lehmann-Scheffe teoremini uygulayabilmesi için TT istatistiği ile ilgili doğrulaması gereken ek özellik ve λ2\lambda^2'nin UMVUE'si aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

  1. Tamlık (Completeness) ; T2−Tn2\frac{T^2 - T}{n^2}Answer
  2. B
    Tamlık (Completeness) ; T2n2\frac{T^2}{n^2}
  3. C
    Yansızlık (Unbiasedness) ; TT
  4. D
    Tutarlılık (Consistency) ; Tn\frac{T}{n}
  5. E
    Etkinlik (Efficiency) ; T2−nTn2\frac{T^2 - nT}{n^2}

Answer

Araştırmacının doğrulaması gereken özellik 'Tamlık' (Completeness) olup, λ2\lambda^2'nin UMVUE'si T2−Tn2\frac{T^2 - T}{n^2} istatistiğidir.
Lehmann-Scheffe teoremine göre, yeterli bir istatistik TT tam (complete) ise, parametrenin yansız herhangi bir fonksiyonu g(T)g(T) o parametre için UMVUE olur. T∼Poisson(nλ)T \sim Poisson(n\lambda) dağılımında ikinci moment E[T2]=nλ+n2λ2E[T^2] = n\lambda + n^2\lambda^2'dir. T2−Tn2\frac{T^2 - T}{n^2} ifadesinin beklenen değeri alındığında E[T2−Tn2]=nλ+n2λ2−nλn2=λ2E\left[\frac{T^2 - T}{n^2}\right] = \frac{n\lambda + n^2\lambda^2 - n\lambda}{n^2} = \lambda^2 sonucu elde edilir. Gerekli koşul olan tamlık sağlanmış olup, yansızlık da ispatlandığı için bu ifade UMVUE'dir.

Step-by-Step Solution

1
Lehmann-Scheffe teoreminin uygulanabilmesi için yeterli istatistiğin sağlaması gereken ek koşulun belirlenmesi.
Neyman Çarpanlara Ayırma teoremi ile bulunan yeterli istatistik TT'nin, Lehmann-Scheffe teoreminin uygulanabilmesi için aynı zamanda 'tam' (complete) olması gerekir.
Lehmann-Scheffe teoremi, tam ve yeterli bir istatistiğin yansız bir fonksiyonunun, ilgili parametrenin tek (unique) UMVUE'si olduğunu ifade eder.
2
Yeterli istatistik T=∑i=1nXiT = \sum_{i=1}^n X_i'nin dağılımının ve momentlerinin bulunması.
Xi∼Poisson(λ)X_i \sim Poisson(\lambda) olduğundan, toplamları olan T∼Poisson(nλ)T \sim Poisson(n\lambda) olur. Beklenen değer E[T]=nλE[T] = n\lambda ve varyans Var(T)=nλVar(T) = n\lambda'dır.
λ2\lambda^2 için yansız bir tahmin edici oluşturmak üzere TT'nin birinci ve ikinci momentlerine ihtiyacımız vardır.
3
λ2\lambda^2 parametresi için yansız bir tahmin edici (g(T)g(T)) elde edilmesi.
E[T2]=Var(T)+(E[T])2=nλ+n2λ2E[T^2] = Var(T) + (E[T])^2 = n\lambda + n^2\lambda^2 eşitliğinden n2λ2=E[T2]−nλ=E[T2−T]n^2\lambda^2 = E[T^2] - n\lambda = E[T^2 - T] bulunur. Her iki taraf n2n^2'ye bölünerek E[T2−Tn2]=λ2E\left[\frac{T^2 - T}{n^2}\right] = \lambda^2 elde edilir.
TT istatistiği tam ve yeterli olduğundan, elde edilen bu yansız fonksiyon Lehmann-Scheffe teoremine göre λ2\lambda^2'nin tek UMVUE'sidir.

Key Concept

Lehmann-Scheffe Teoremi ve Tamlık (Completeness) Özelliği
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici)

More questions from this topic