Çevre ve Şehircilik Bakanlığı, üç farklı sanayi bölgesindeki (A: Ağır Sanayi, B: İmalat, C… — KPSS İstatistik

Çevre ve Şehircilik Bakanlığı, üç farklı sanayi bölgesindeki (A: Ağır Sanayi, B: İmalat, C: Hafif Sanayi) fabrikaların günlük su tüketim miktarlarını tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yapacaktır. Bu bölgelere ilişkin kitle hacimleri ( $N_h$ ), standart sapmalar ( $S_h$ ) ve bir birimlik gözlemin maliyeti ( $c_h$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Bölge	$N_h$	$S_h$	$c_h$ (TL)
A	100	20	100
B	300	10	25
C	600	5	4

Araştırmacı, değişken örneklem maliyetleri için ayrılan toplam 3.280 TL'lik bütçenin tamamını kullanarak, maliyet-optimum (Optimum) dağıtım yöntemiyle örneklem hacmini tabakalara dağıtmış ve genel örneklem hacmini ( $n$ ) belirlemiştir.

Eğer araştırmacı birim maliyetlerdeki farklılıkları göz ardı ederek, elde ettiği **aynı genel örneklem hacmini ( $n$ )** sadece tabaka büyüklükleri ve varyansları dikkate alan Neyman dağıtımı ile tabakalara dağıtsaydı, B bölgesinden seçilecek örneklem hacmi ( $n_B$ ) ilk duruma göre nasıl değişirdi?

A
7 artar
B
9 artar
C
21 azalır
21 artarAnswer
E
69 artar

Answer

B bölgesinden seçilecek örneklem hacmi ilk duruma göre 21 artar.

Doğru sonuca ulaşmak için öncelikle Optimum dağıtımda sabit bütçe kısıtı formülü

n = [C \cdot \sum(N_h S_h / \sqrt{c_h})] / \sum(N_h S_h \sqrt{c_h})

kullanılarak toplam örneklem hacmi

n = 184

olarak hesaplanmalıdır. Bu dağıtımda B tabakasının payı

600 / 2300

'dür ve

n_B = 48

bulunur. Maliyetler göz ardı edilip aynı

n=184

için sadece

N_h S_h

ağırlıklarına bakılan Neyman dağıtımında ise B tabakasının payı

3000 / 8000

'dir ve

n_B = 69

olarak bulunur. Aradaki değişim

69 - 48 = 21

birimlik bir artıştır.

Step-by-Step Solution

Optimum dağıtım için gerekli olan

N_h S_h / \sqrt{c_h}

N_h S_h \sqrt{c_h}

değerlerini hesaplayın.

A için:

100 \times 20 / 10 = 200

100 \times 20 \times 10 = 20000

B için:

300 \times 10 / 5 = 600

300 \times 10 \times 5 = 15000

C için:

600 \times 5 / 2 = 1500

600 \times 5 \times 2 = 6000

Toplam

N_h S_h / \sqrt{c_h} = 2300

Toplam

N_h S_h \sqrt{c_h} = 41000

Sabit bütçe kısıtı altında toplam örneklem hacmini bulmak için bu iki toplama ihtiyaç vardır.

Verilen 3280 TL bütçe (

C

) ile toplam örneklem hacmini (

n

) hesaplayın.

n = \frac{C \times \sum (N_h S_h / \sqrt{c_h})}{\sum (N_h S_h \sqrt{c_h})} = \frac{3280 \times 2300}{41000} = \frac{328 \times 23}{41} = 8 \times 23 = 184

Neyman dağıtımında kullanacağımız ortak

n

değerini bulmak gerekmektedir.

Optimum dağıtım formülü ile B tabakasından alınacak örneklem hacmini (

n_B

) bulun.

n_B^{(Optimum)} = n \times \frac{N_B S_B / \sqrt{c_B}}{\sum N_h S_h / \sqrt{c_h}} = 184 \times \frac{600}{2300} = 184 \times \frac{6}{23} = 48

Maliyetleri hesaba katan dağıtımdaki payını belirlemek için gereklidir.

Neyman dağıtımı için gerekli olan

N_h S_h

çarpımlarını hesaplayın ve B tabakası için yeni hacmi (

n_B

) bulun.

N_A S_A = 2000

N_B S_B = 3000

N_C S_C = 3000

. Toplam = 8000.

n_B^{(Neyman)} = 184 \times \frac{3000}{8000} = 184 \times \frac{3}{8} = 69

Maliyetler göz ardı edildiğinde varyans ve hacmin getirdiği yeni payı hesaplamak için gereklidir.

İki dağıtım arasındaki

n_B

farkını hesaplayın.

69 - 48 = +21

(21 artar)

Soru bizden maliyet kısıtı kalktığında örneklem büyüklüğündeki değişimi istemektedir.

Key Concept

Optimum Dağıtım ve Neyman Dağıtımı Arasındaki Matematiksel ve Kavramsal Farklar

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic