\{Z_n\}_{n \geq 1} bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele değişkenler dizisi olmak üzere, bu … — KPSS İstatistik

$\{Z_n\}_{n \geq 1}$ bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele değişkenler dizisi olmak üzere, bu dizideki her bir $Z_n$ değişkeni aşağıdaki olasılık dağılımına sahiptir:

P(Z_n = 2) = p

P(Z_n = \frac{1}{2}) = 1-p

$\mathcal{F}_n = \sigma(Z_1, Z_2, \dots, Z_n)$ , $n$ anına kadar olan bilgiyi temsil eden doğal filtrasyon ve başlangıç değeri $M_0 = 1$ olmak üzere çarpım süreci,

M_n = \prod_{i=1}^n Z_i

şeklinde tanımlanıyor.

Buna göre, $\{M_n\}_{n \geq 0}$ sürecinin bir $\mathcal{F}_n$ -martingal olması için $p$ olasılık değeri aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?

A
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{3}$ Answer
C
$\frac{1}{2}$
D
$\frac{3}{5}$
E
$\frac{2}{3}$

Answer

Çarpım sürecinin bir martingal olması için Z_n rastgele değişkenlerinin beklenen değerinin 1 olması gerekir. Bu denklem çözüldüğünde p = 1/3 elde edilir.

\{M_n\}

sürecinin bir martingal olabilmesi için

E[M_{n+1} | \mathcal{F}_n] = M_n

temel şartı sağlanmalıdır.

M_{n+1} = M_n \cdot Z_{n+1}

şeklinde verildiğinden ve

Z_{n+1}

, geçmişteki bilgileri barındıran

\mathcal{F}_n

filtrasyonundan bağımsız olduğundan,

E[M_{n+1} | \mathcal{F}_n] = M_n \cdot E[Z_{n+1}]

olur. Bu ifadenin her durumda

M_n

'e eşit olabilmesi için

E[Z_{n+1}] = 1

olması zorunludur. Dağılımın beklenen değerini hesaplarsak:

E[Z_{n+1}] = 2p + \frac{1}{2}(1-p) = \frac{3p}{2} + \frac{1}{2}

elde edilir.

\frac{3p}{2} + \frac{1}{2} = 1

denklemi çözüldüğünde

\frac{3p}{2} = \frac{1}{2}

ve dolayısıyla

p = \frac{1}{3}

bulunur.

Step-by-Step Solution

Martingal tanımını çarpım süreci için uygulamak

E[M_{n+1} | \mathcal{F}_n] = E[M_n \cdot Z_{n+1} | \mathcal{F}_n]

bağıntısı yazılır.

Bir sürecin martingal olması için mevcut bilgiye göre bir sonraki adımın beklenen değerinin şu anki değere eşit olması (

E[M_{n+1} | \mathcal{F}_n] = M_n

) gereklidir.

Koşullu beklenen değeri sadeleştirmek

M_n

bilindiği için koşul dışına alınır ve

Z_{n+1}

bağımsız olduğundan koşul kalkar:

M_n \cdot E[Z_{n+1}] = M_n

elde edilir.

Rastgele değişkenler dizisi bağımsız olduğundan,

Z_{n+1}

değişkeni geçmiş bilgiyi içeren

\mathcal{F}_n

filtrasyonundan bağımsızdır.

Beklenen değer denklemini oluşturup çözmek

E[Z_{n+1}] = 1

olmalıdır.

2 \cdot p + \frac{1}{2} \cdot (1-p) = 1

denklemi kurularak

\frac{3p}{2} = \frac{1}{2}

'den

p = \frac{1}{3}

bulunur.

Martingal eşitliğinin

M_n

'nin aldığı tüm değerler için her adımda sağlanması ancak çarpanın beklenen değerinin 1 olması ile mümkündür.

Key Concept

Bağımsız rastgele değişkenlerin çarpımı şeklinde tanımlanan süreçlerin martingal olabilmesi için her bir çarpan değişkenin beklenen değerinin 1'e eşit olması koşulu.

Alternative Method

Alternatif olarak doğrudan

E[M_n] = M_0 = 1

genel özelliği üzerinden de gidilebilir.

E[M_n] = \prod E[Z_i] = (E[Z_1])^n = 1

olmalıdır, bu durum da ancak

E[Z_1] = 1

olması ile sağlanır.

Estimated Time:1m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Topics

More questions from this topic