Examkin

Question

Difficulty: MediumMartingaleler

{Xn}n≥1\{X_n\}_{n \geq 1}, beklenen değeri μ\mu ve varyansı σ2>0\sigma^2 > 0 olan bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele değişkenler dizisi olsun.

Sn=∑i=1nXiS_n = \sum_{i=1}^n X_i şeklinde tanımlanan süreci ve Fn=σ(X1,X2,…,Xn)\mathcal{F}_n = \sigma(X_1, X_2, \dots, X_n) doğal filtrasyonunu ele alalım.

Buna göre, Yn=Sn2−nσ2Y_n = S_n^2 - n \sigma^2 sürecinin Fn\mathcal{F}_n'ye göre bir martingal olması için μ\mu değeri aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?

  1. 00Answer
  2. B
    11
  3. C
    σ\sigma
  4. D
    σ2\sigma^2
  5. E
    −σ2-\sigma^2

Answer

μ\mu değerinin 00 olması gereklidir.
Martingal tanımına göre E[Yn+1∣Fn]=YnE[Y_{n+1} | \mathcal{F}_n] = Y_n olmalıdır. Yn+1=(Sn+Xn+1)2−(n+1)σ2Y_{n+1} = (S_n + X_{n+1})^2 - (n+1)\sigma^2 olduğundan, koşullu beklenti alındığında Yn+2Snμ+μ2Y_n + 2S_n\mu + \mu^2 elde edilir. Bu ifadenin YnY_n'ye eşit olabilmesi için, SnS_n'in her değeri için 2Snμ+μ2=02S_n\mu + \mu^2 = 0 denkleminin sağlanması gerekir; bu da ancak μ=0\mu = 0 olmasıyla mümkündür.

Step-by-Step Solution

1
E[Yn+1∣Fn]E[Y_{n+1} | \mathcal{F}_n] koşullu beklenen değerini tanım kullanarak yazma
E[Sn+12−(n+1)σ2∣Fn]E[S_{n+1}^2 - (n+1)\sigma^2 | \mathcal{F}_n] elde edilir.
Martingal şartı olan E[Yn+1∣Fn]=YnE[Y_{n+1} | \mathcal{F}_n] = Y_n eşitliğini test etmek.
2
Sn+1=Sn+Xn+1S_{n+1} = S_n + X_{n+1} eşitliğini yerine koyup karesini açma
E[Sn2+2SnXn+1+Xn+12∣Fn]−(n+1)σ2E[S_n^2 + 2S_n X_{n+1} + X_{n+1}^2 | \mathcal{F}_n] - (n+1)\sigma^2 elde edilir.
Bilinen Fn\mathcal{F}_n ölçülebilir terimler ile bağımsız gelecek terimleri birbirinden ayırmak.
3
Koşullu beklenen değer özelliklerini (doğrusallık ve bağımsızlık) uygulama
Sn2+2SnE[Xn+1]+E[Xn+12]−nσ2−σ2S_n^2 + 2S_n E[X_{n+1}] + E[X_{n+1}^2] - n\sigma^2 - \sigma^2 bulunur.
SnS_n'in Fn\mathcal{F}_n tarafından bilinmesi ve Xn+1X_{n+1}'in bağımsız olması nedeniyle işlemler sadeleşir.
4
E[Xn+1]=μE[X_{n+1}] = \mu ve E[Xn+12]=σ2+μ2E[X_{n+1}^2] = \sigma^2 + \mu^2 değerlerini yerine koyma
(Sn2−nσ2)+2Snμ+σ2+μ2−σ2=Yn+2Snμ+μ2(S_n^2 - n\sigma^2) + 2S_n\mu + \sigma^2 + \mu^2 - \sigma^2 = Y_n + 2S_n\mu + \mu^2 bulunur.
Varyans formülü kullanılarak ikinci momentin beklenen değer ve varyans cinsinden yazılması.
5
Elde edilen ifadeyi YnY_n'ye eşitleyip μ\mu değerini çözme
Yn+2Snμ+μ2=Yn  ⟹  2Snμ+μ2=0Y_n + 2S_n\mu + \mu^2 = Y_n \implies 2S_n\mu + \mu^2 = 0 olmalıdır. Bu ancak μ=0\mu = 0 ise her SnS_n için sağlanır.
Sürecin tüm zaman adımlarında ve durumlarında martingal olma zorunluluğu.

Key Concept

Bir rassal yürüyüşün karesinden varyans terimi çıkarılarak oluşturulan sürecin martingal olması için gerekli koşul
Rate this question

Topics

Martingaleler

More questions from this topic