Bir akıllı serada otonom olarak hasat yapan 3 adet özdeş robot bulunmaktadır. Robotların a… — KPSS İstatistik

Bir akıllı serada otonom olarak hasat yapan $3$ adet özdeş robot bulunmaktadır. Robotların arızasız çalışma süreleri üstel dağılıma uymakta olup, bir robot ortalama $2$ günde bir arıza yapmaktadır (arıza oranı makine başına $\lambda = 0,5$ arıza/gün). Serada bu robotların bakım ve onarımından sorumlu $1$ adet teknisyen görev yapmaktadır. Teknisyenin bir arızalı robotu tamir etme süresi üstel dağılıma uymakta olup, ortalama tamir süresi $1$ gündür ( $\mu = 1$ tamir/gün).

Buna göre, kararlı durumda (steady-state) sistemde bulunan (tamir edilen veya tamir için sıra bekleyen) ortalama robot sayısı ( $L$ ) kaçtır?

A
$\frac{12}{19}$
B
$\frac{15}{19}$
C
$1$
$\frac{27}{19}$ Answer
E
$\frac{30}{19}$

Answer

Sistemde bulunan ortalama robot sayısı

\frac{27}{19}

olarak hesaplanır.

Verilen problem Sonlu Kaynaklı (Makine Bakım) Kuyruk Modelidir. Parametreler

N=3

\lambda=0,5

\mu=1

olarak tanımlanmıştır. Sistemin boş olma olasılığı (

P_0

), seri toplamı formülü olan

\left[ \sum \frac{N!}{(N-n)!} (\lambda/\mu)^n \right]^{-1}

üzerinden

4/19

olarak bulunur. Sistemdeki ortalama makine sayısı formülü

L = N - (\mu/\lambda)(1 - P_0)

kullanıldığında sonucun

\frac{27}{19}

olduğu açıkça görülmektedir.

Step-by-Step Solution

Model parametrelerini belirleme.

N = 3

(toplam popülasyon),

c = 1

(servis kanalı),

\lambda = 0,5

(makine başına bozulma hızı),

\mu = 1

(tamir hızı).

Sonlu kaynaklı kuyruk modelinde formülleri uygulayabilmek için temel girdi parametrelerinin standardize edilmesi gerekir.

Sistemin boş olma olasılığını (

P_0

) hesaplama.

P_0 = \frac{4}{19}

P_0 = \left[ \sum_{n=0}^{N} \frac{N!}{(N-n)!} \left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^n \right]^{-1}

formülü kullanılır.

n=0 \Rightarrow 1

n=1 \Rightarrow \frac{3!}{2!} (0,5)^1 = 3 \times 0,5 = 1,5

n=2 \Rightarrow \frac{3!}{1!} (0,5)^2 = 6 \times 0,25 = 1,5

n=3 \Rightarrow \frac{3!}{0!} (0,5)^3 = 6 \times 0,125 = 0,75

Toplam =

1 + 1,5 + 1,5 + 0,75 = 4,75 = \frac{19}{4}

. Buradan

P_0 = \frac{4}{19}

bulunur.

Sistemdeki ortalama birim sayısını (

L

) hesaplama.

L = \frac{27}{19}

Sonlu model için

L

formülü:

L = N - \frac{\mu}{\lambda}(1 - P_0)

şeklindedir.
Değerleri yerine koyarsak:

L = 3 - \frac{1}{0,5} \times \left(1 - \frac{4}{19}\right) = 3 - 2 \times \left(\frac{15}{19}\right) = 3 - \frac{30}{19} = \frac{57 - 30}{19} = \frac{27}{19}

elde edilir.

Key Concept

Sonlu Kaynaklı Kuyruk Modelleri (M/M/1/K/K)

Alternative Method

L

değerini

L = \sum_{n=0}^{N} n \cdot P_n

şeklinde uzun yoldan da hesaplayabiliriz.

P_1 = \frac{6}{19}

P_2 = \frac{6}{19}

P_3 = \frac{3}{19}

olduğundan;

L = 0 \times \frac{4}{19} + 1 \times \frac{6}{19} + 2 \times \frac{6}{19} + 3 \times \frac{3}{19} = \frac{6 + 12 + 9}{19} = \frac{27}{19}

sonucu aynı şekilde teyit edilir.

Estimated Time:2m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Topics

More questions from this topic