X ve Y sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmi… — KPSS İstatistik

$X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x, y) = 4xy, \quad 0 < x < 1, \quad 0 < y < 1

$U = X^2$ ve $V = Y^2$ dönüşümleri tanımlandığına göre, $U$ ve $V$ değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $h(u, v)$ aşağıdakilerden hangisidir?

$h(u, v) = 1, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1$ Answer
B
$h(u, v) = 4\sqrt{uv}, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1$
C
$h(u, v) = 16uv, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1$
D
$h(u, v) = 1, \quad 0 < u < 2, \quad 0 < v < 2$
E
$h(u, v) = 4uv, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1$

Answer

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu

h(u, v) = 1

olup tanım aralığı

0 < u < 1

0 < v < 1

şeklinded{ir}.

Doğru cevap olan ifade,

x = \sqrt{u}

y = \sqrt{v}

ters dönüşümleri kullanılarak hesaplanan

\frac{1}{4\sqrt{uv}}

Jakobiyen değerinin orijinal yoğunluk fonksiyonuna uygulanmasıyla elde edilen

h(u, v) = 1

sonucunu ve doğru sınırları içermektedir.

Step-by-Step Solution

Ters dönüşüm denklemlerini belirleyin.

x = \sqrt{u}

y = \sqrt{v}

Orijinal değişkenleri yeni değişkenler cinsinden ifade etmek Jakobiyen yönteminin ilk adımıdır.

Jakobiyen determinantını (

J

) hesaplayın.

J = \begin{vmatrix} \frac{1}{2\sqrt{u}} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2\sqrt{v}} \end{vmatrix} = \frac{1}{4\sqrt{uv}}

Dönüşüm altındaki alan/hacim değişimini dengelemek için bu katsayı gereklidir.

Dönüşüm formülünü (

h(u, v) = f(x, y) \cdot |J|

) uygulayın.

h(u, v) = 4(\sqrt{u})(\sqrt{v}) \cdot \frac{1}{4\sqrt{uv}} = 1

Yeni yoğunluk fonksiyonunu elde etmek için orijinal PDF, ters dönüşüm değerleri ve Jakobiyen ile birleştirilir.

Yeni değişkenlerin tanım aralığını belirleyin.

0 < \sqrt{u} < 1 \Rightarrow 0 < u < 1

0 < \sqrt{v} < 1 \Rightarrow 0 < v < 1

Rastgele değişkenlerin tanımlı olduğu bölge dönüşümle birlikte değişebilir.

Key Concept

İki değişkenli bir dönüşümde yeni yoğunluk fonksiyonu, orijinal fonksiyonun ters dönüşüm değerleri ile Jakobiyen determinantının mutlak değerinin çarpımıyla bulunur.

Practice More

Değişkenlerin bağımsız olup olmadığını inceleyerek marjinal yoğunluk fonksiyonlarını bulmayı deneyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Topics