Kültür ve Turizm Bakanlığı, üç farklı turizm bölgesindeki (1. Bölge: Kıyı, 2. Bölge: Kültü… — KPSS İstatistik

Kültür ve Turizm Bakanlığı, üç farklı turizm bölgesindeki (1. Bölge: Kıyı, 2. Bölge: Kültür, 3. Bölge: Kış) konaklama tesislerinin hizmet kalitesi puanlarını tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yapacaktır.

Bölgelerdeki tesis sayıları ( $N_h$ ) ve kalite puanlarının varyansları ( $S_h^2$ ) birbirine eşit kabul edilmektedir. Ancak tesislerin coğrafi dağınıklığı nedeniyle bir birimden veri toplamanın maliyeti ( $c_h$ ) bölgelere göre farklılık göstermektedir. Birim maliyetler sırasıyla; 1. Bölge için $100\text{ TL}$ , 2. Bölge için $400\text{ TL}$ ve 3. Bölge için $900\text{ TL}$ olarak belirlenmiştir.

Bakanlık, belirlenen bir bütçe kısıtı altında örneklem ortalamasının varyansını en küçük yapacak şekilde optimum dağıtım yöntemini kullanmaya karar vermiştir.

Toplam $3234$ tesislik bir örneklem seçileceğine göre, 3. Bölge'den (Kış) seçilmesi gereken örneklem hacmi aşağıdakilerden hangisidir?

A
264
588Answer
C
1078
D
1617
E
2079

Answer

Optimum dağıtım formülü doğru şekilde uygulandığında 3. Bölge'den seçilmesi gereken örneklem hacmi 588'dir.

Optimum dağıtımda, her bir tabakadan alınacak örneklem hacmi (

n_h

), tabaka hacmi (

N_h

) ve tabaka standart sapması (

S_h

) ile doğru; veri toplama birim maliyetinin karekökü (

\sqrt{c_h}

) ile ters orantılıdır. Soru kökünde

N_h

S_h

değerlerinin tüm bölgelerde eşit olduğu belirtilmiştir. Bu durumda örneklem hacmi yalnızca maliyetlerin karekökü ile ters orantılı olarak dağıtılacaktır. Kış bölgesinin maliyeti en yüksek (

900\text{ TL}

) olduğundan karekökü

30

'dur. Toplam pay oranlaması yapıldığında, Kış bölgesine düşen pay tüm örneklemin

2/11

'i kadar olmaktadır. Toplam

3234

birimlik örneklemin

2/11

'i hesaplandığında doğru hacim

588

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

Tabakalı örneklemede maliyetlerin farklı olduğu optimum dağıtım modelinin temel formülünü hatırlayın.

n_h = n \frac{N_h S_h / \sqrt{c_h}}{\sum (N_h S_h / \sqrt{c_h})}

formülü kullanılır.

Varyansı minimum yapan optimum dağıtımda her tabakaya düşen örneklem payı

N_h

S_h

1/\sqrt{c_h}

değerlerinin çarpımıyla orantılıdır.

Soru metnindeki eşitlik durumlarını (

N_h

S_h

eşit ) formülde sadeleştirin.

Formül

n_h = n \frac{1 / \sqrt{c_h}}{\sum (1 / \sqrt{c_h})}

haline gelir.

Tüm tabakalar için

N_h

S_h

aynı olduğundan, pay ve paydadaki bu terimler birbirini götürür.

Her tabaka için birim maliyetlerin karekökünü (

\sqrt{c_h}

) ve bu değerlerin tersini (

1/\sqrt{c_h}

) hesaplayın.

1. Bölge:

\sqrt{100}=10 \Rightarrow 1/10

, 2. Bölge:

\sqrt{400}=20 \Rightarrow 1/20

, 3. Bölge:

\sqrt{900}=30 \Rightarrow 1/30

Dağıtım ağırlıklarını bulmak için maliyetlerin karekökleriyle ters orantılı paylar elde edilmelidir.

Hesaplanan ters oranların toplamını bularak, 3. Bölge'nin toplam içindeki payını belirleyin.

Toplam ağırlık:

1/10 + 1/20 + 1/30 = 6/60 + 3/60 + 2/60 = 11/60

. 3. Bölge'nin payı:

\frac{2/60}{11/60} = \frac{2}{11}

Toplam örneklemin ne kadarlık kısmının 3. Bölge'ye (Kış bölgesi) ayrılacağını oranlamak için gereklidir.

Toplam örneklem hacmini (

n=3234

), 3. Bölge için bulunan oran (

2/11

) ile çarpın.

n_3 = 3234 \times \frac{2}{11} = 294 \times 2 = 588

Oransal pay ile toplam hacim çarpılarak hedeflenen tabakanın örneklem büyüklüğüne ulaşılır.

Key Concept

Tabakalı Örneklemede Optimum Dağıtım (Maliyet Kısıtı Altında)

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic