Bir araştırmacı, n gözlemden oluşan bir veri setinde Y bağımlı değişkeni ile bilinen pozit… — KPSS İstatistik

Bir araştırmacı, $n$ gözlemden oluşan bir veri setinde $Y$ bağımlı değişkeni ile bilinen pozitif $x$ sabitleri arasındaki ilişkiyi orijinden geçen doğrusal regresyon modeli olan $Y_i = \beta x_i + \epsilon_i \quad (i=1,2,\dots,n)$ denklemi ile tanımlamaktadır.

Bu modelde $\beta$ bilinmeyen bir parametredir. Hata terimleri ( $\epsilon_i$ ) birbirinden bağımsız olup, beklenen değerleri $E(\epsilon_i) = 0$ ve değişen varyanslılık (heteroskedastisite) göstererek varyansları $Var(\epsilon_i) = \sigma^2 x_i$ özelliğine sahiptir.

Araştırmacı, bu model için iki farklı tahmin edici hesaplamaktadır:
1. Sıradan (ağırlıksız) En Küçük Kareler (EKK) tahmin edicisi: $\hat{\beta}_{EKK}$
2. Gauss-Markov teoremi uyarınca bu değişen varyanslı model için elde edilebilecek En İyi Doğrusal Yansız Tahmin Edici (BLUE): $\tilde{\beta}$

Buna göre, sıradan EKK tahmin edicisinin varyansının, BLUE'nun varyansına oranı olan $\frac{Var(\hat{\beta}_{EKK})}{Var(\tilde{\beta})}$ değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A
$1$
B
$\frac{(\sum_{i=1}^n x_i^2)^2}{(\sum_{i=1}^n x_i)(\sum_{i=1}^n x_i^3)}$
$\frac{(\sum_{i=1}^n x_i)(\sum_{i=1}^n x_i^3)}{(\sum_{i=1}^n x_i^2)^2}$ Answer
D
$\frac{\sum_{i=1}^n x_i^3}{\sum_{i=1}^n x_i \sum_{i=1}^n x_i^2}$
E
$\frac{n \sum_{i=1}^n x_i^3}{(\sum_{i=1}^n x_i^2)^2}$

Answer

Sıradan EKK varyansının, BLUE varyansına oranı

\frac{(\sum_{i=1}^n x_i)(\sum_{i=1}^n x_i^3)}{(\sum_{i=1}^n x_i^2)^2}

ifadesine eşittir.

Sıradan EKK tahmin edicisi hata kareler toplamını minimize ederek

\hat{\beta}_{EKK} = \frac{\sum x_i Y_i}{\sum x_i^2}

olarak bulunur. Bu tahmin edicinin varyansı heteroskedastik yapı (

Var(\epsilon_i) = \sigma^2 x_i

) dikkate alınarak hesaplandığında

\sigma^2 \frac{\sum x_i^3}{(\sum x_i^2)^2}

olur. Model, Gauss-Markov şartlarını sağlayacak şekilde

\sqrt{x_i}

değerine bölündüğünde elde edilen En İyi Doğrusal Yansız Tahmin Edici (BLUE)

\tilde{\beta} = \frac{\sum Y_i}{\sum x_i}

şeklindedir ve varyansı

\frac{\sigma^2}{\sum x_i}

'dir. Bu iki varyans birbirine oranlandığında doğru ifade olan

\frac{(\sum_{i=1}^n x_i)(\sum_{i=1}^n x_i^3)}{(\sum_{i=1}^n x_i^2)^2}

değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

Sıradan EKK tahmin edicisinin (

\hat{\beta}_{EKK}

) katsayısını türet.

\sum (Y_i - \beta x_i)^2

minimize edilerek

\hat{\beta}_{EKK} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i Y_i}{\sum_{i=1}^n x_i^2}

elde edilir.

Sıradan EKK yöntemi, hata terimlerinin varyans yapısını dikkate almadan doğrudan hata kareler toplamını minimize eder.

Sıradan EKK tahmin edicisinin varyansını hesapla.

Var(\hat{\beta}_{EKK}) = Var\left(\frac{\sum x_i Y_i}{\sum x_i^2}\right) = \frac{\sum x_i^2 Var(Y_i)}{(\sum x_i^2)^2} = \frac{\sum x_i^2 (\sigma^2 x_i)}{(\sum x_i^2)^2} = \sigma^2 \frac{\sum_{i=1}^n x_i^3}{(\sum_{i=1}^n x_i^2)^2}

Var(\sum c_i Y_i) = \sum c_i^2 Var(Y_i)

bağımsızlık kuralı gereğidir ve soruda

Var(Y_i) = Var(\epsilon_i) = \sigma^2 x_i

olarak verilmiştir.

Değişen varyansı (heteroskedastisite) düzeltmek için Gauss-Markov koşullarını sağlayan dönüştürülmüş modeli ve BLUE (

\tilde{\beta}

) tahmin edicisini türet.

Model denklemi

\sqrt{x_i}

'ye bölünür:

\frac{Y_i}{\sqrt{x_i}} = \beta \sqrt{x_i} + \frac{\epsilon_i}{\sqrt{x_i}}

. Yeni varyans

Var\left(\frac{\epsilon_i}{\sqrt{x_i}}\right) = \frac{1}{x_i}\sigma^2 x_i = \sigma^2

sabit olur. Bu modele EKK uygulandığında:

\tilde{\beta} = \frac{\sum (\sqrt{x_i})\left(\frac{Y_i}{\sqrt{x_i}}\right)}{\sum (\sqrt{x_i})^2} = \frac{\sum_{i=1}^n Y_i}{\sum_{i=1}^n x_i}

elde edilir.

Sabit varyans (homoskedastisite) varsayımını sağlamak için Ağırlıklı En Küçük Kareler (WLS) yaklaşımı ile Gauss-Markov teoremine uygun BLUE elde edilmelidir.

BLUE tahmin edicisinin (

\tilde{\beta}

) varyansını hesapla.

Var(\tilde{\beta}) = Var\left(\frac{\sum Y_i}{\sum x_i}\right) = \frac{\sum Var(Y_i)}{(\sum x_i)^2} = \frac{\sum (\sigma^2 x_i)}{(\sum x_i)^2} = \sigma^2 \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{(\sum_{i=1}^n x_i)^2} = \frac{\sigma^2}{\sum_{i=1}^n x_i}

Yeni katsayılar üzerinden klasik varyans operatörü özellikleri uygulanır.

Bulunan varyansların oranını hesapla.

\frac{Var(\hat{\beta}_{EKK})}{Var(\tilde{\beta})} = \frac{\sigma^2 \sum x_i^3 / (\sum x_i^2)^2}{\sigma^2 / \sum x_i} = \frac{(\sum_{i=1}^n x_i)(\sum_{i=1}^n x_i^3)}{(\sum_{i=1}^n x_i^2)^2}

İstenen etkinlik (efficiency) oranı, elde edilen iki varyans değerinin birbirine bölünmesiyle bulunur.

Key Concept

Değişen varyans (Heteroskedastisite) altında En Küçük Kareler ve BLUE özellikleri

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic