Bir hastalık modellemesinde, enfekte olan her bir bireyin belirli bir zaman diliminde bula… — KPSS İstatistik

Bir hastalık modellemesinde, enfekte olan her bir bireyin belirli bir zaman diliminde bulaştırdığı yeni kişi sayısı bir Galton-Watson dallanma süreci ile modellenmektedir. Aşağıdaki tabloda her bir bireyin bir sonraki nesilde hastalığı bulaştırdığı kişi sayısına ( $Y$ ) ait olasılık dağılımı verilmiştir:

$Y$ (Bulaştırılan Kişi Sayısı)	$P(Y)$ (Olasılık)
0	$0,4$
1	$0$
2	$0,2$
3	$0,4$

Salgın başlangıçta $X_0 = 2$ enfekte birey ile başlamıştır. $X_n$ , $n$ . nesildeki (adımda) enfekte olan kişi sayısını göstermek üzere;

I. Bu salgının eninde sonunda tamamen sönümlenme (neslinin tükenme) olasılığı nedir?
II. İkinci nesilde beklenen enfekte kişi sayısı ( $E[X_2]$ ) kaçtır?

Yukarıdaki soruların cevapları sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

$\frac{1}{4}$ ve $5,12$ Answer
B
$\frac{1}{2}$ ve $5,12$
C
$1$ ve $5,12$
D
$\frac{1}{4}$ ve $2,56$
E
$\frac{1}{2}$ ve $3,20$

Answer

Sönüm olasılığının

\frac{1}{4}

ve ikinci nesildeki beklenen enfekte kişi sayısının

5,12

olarak verildiği seçenektir.

Ortalama yavru sayısı

\mu = 1,6

olduğundan süreç süperkritiktir ve eninde sonunda neslin tükenme ihtimali kesin (1) değildir. Tek bir bireyin sönüm olasılığı

G(s) = s \implies 0,4 + 0,2s^2 + 0,4s^3 = s

denkleminin çözümünden

\pi = \frac{1}{2}

bulunur. Salgın 2 bağımsız bireyle başladığı için toplam sönümlenme olasılığı

(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}

olur. İkinci adımdaki beklenen sayı ise

E[X_2] = X_0 \cdot \mu^2 = 2 \cdot (1,6)^2 = 5,12

'dir.

Step-by-Step Solution

Birinci nesil için beklenen bulaştırma sayısını (

\mu

) hesaplayın.

\mu = E[Y] = 0 \cdot 0,4 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 0,2 + 3 \cdot 0,4 = 0 + 0 + 0,4 + 1,2 = 1,6

Sürecin kritik, altkritik veya süperkritik olduğunu belirlemek ve ilerleyen nesillerin beklenen değerini bulmak için

\mu

değerine ihtiyaç vardır.

\mu = 1,6 > 1

olduğundan süreç süperkritiktir.

İkinci nesilde beklenen enfekte kişi sayısını (

E[X_2]

) hesaplayın.

E[X_n] = X_0 \cdot \mu^n \implies E[X_2] = 2 \cdot (1,6)^2 = 2 \cdot 2,56 = 5,12

Dallanma süreçlerinde başlangıçtaki bağımsız

X_0

adet bireyin her birinin kendi soy çizgisi vardır. Toplam beklenen değer

X_0

ile nesil bazlı büyüme oranının (

\mu^n

) çarpımına eşittir.

Yavru dağılımı için olasılık üreten fonksiyonu (Probability Generating Function - PGF) oluşturun.

G(s) = \sum_{y=0}^{3} P(Y=y)s^y = 0,4 \cdot s^0 + 0 \cdot s^1 + 0,2 \cdot s^2 + 0,4 \cdot s^3 = 0,4 + 0,2s^2 + 0,4s^3

Bir bireyin soyunun tamamen tükenme olasılığını (

\pi

) bulabilmek için PGF denklemini kurmak gereklidir.

G(s) = s

denkleminin

[0, 1)

aralığındaki kökünü (

\pi

) bularak tek bir bireyin sönüm olasılığını hesaplayın.

0,4s^3 + 0,2s^2 - s + 0,4 = 0

(her tarafı 5 ile çarpalım)

\implies 2s^3 + s^2 - 5s + 2 = 0

s=1

bariz bir köktür. Polinom bölmesi

(s-1)(2s^2 + 3s - 2) = 0

sonucunu verir. Kökler:

1, 0,5, -2

. En küçük negatif olmayan kök

\pi = 0,5

(yani

\frac{1}{2}

) olarak bulunur.

Teoriye göre

\mu > 1

(süperkritik) olduğunda, sönüm olasılığı

G(s)=s

eşitliğini sağlayan

[0, 1)

aralığındaki eşsiz çözümdür.

Tüm sürecin (salgının) tamamen sönümlenme olasılığını hesaplayın.

P(\text{Sönüm}) = \pi^{X_0} = (0,5)^2 = 0,25 = \frac{1}{4}

Sürecin tamamen yok olması için başlangıçtaki tüm bağımsız kolların (burada 2 adet) sönümlenmesi gerekir. Olaylar bağımsız olduğundan olasılıklar çarpılır.

Key Concept

Dallanma Süreçlerinde Sönüm Olasılığı ve Olasılık Üreten Fonksiyonlar

Alternative Method

Beklenen değer hesabı iteratif koşullu beklenen değer teoremi üzerinden de doğrulanabilir:

E[X_2] = E[E[X_2|X_1]] = E[X_1 \cdot \mu] = \mu \cdot E[X_1] = \mu \cdot (X_0 \cdot \mu) = X_0 \cdot \mu^2

Estimated Time:3m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Topics

More questions from this topic