Dallanma Süreçleri

Bir hastalık modellemesinde, enfekte olan her bir bireyin belirli bir zaman diliminde bulaştırdığı yeni kişi sayısı bir Galton-Watson dallanma süreci ile modellenmektedir. Aşağıdaki tabloda her bir bireyin bir sonraki nesilde hastalığı bulaştırdığı kişi sayısına ($Y$) ait olasılık dağılımı verilmiştir:

Salgın başlangıçta $X_0 = 2$ enfekte birey ile başlamıştır. $X_n$, $n$. nesildeki (adımda) enfekte olan kişi sayısını göstermek üzere;

I. Bu salgının eninde sonunda tamamen sönümlenme (neslinin tükenme) olasılığı nedir?
II. İkinci nesilde beklenen enfekte kişi sayısı ($E[X_2]$) kaçtır?

Yukarıdaki soruların cevapları sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

Bir bilgisayar ağına sızan yeni bir zararlı yazılımın (virüsün) sistemdeki yayılımı, bir Galton-Watson dallanma süreci $\{X_n, n \geq 0\}$ ile modellenmektedir. Sisteme başlangıçta $1$ adet virüs bulaşmıştır ($X_0 = 1$).

Her bir virüsün bir zaman birimi (nesil) sonunda sistemde bırakacağı kopyalarının (yavru virüs) sayısına ilişkin olasılık dağılımı aşağıdaki gibidir:

* $P(X=0) = \frac{1}{9}$ (Hiç kopya bırakmadan silinmesi)
* $P(X=1) = \frac{4}{9}$ (Sadece $1$ kopya bırakması)
* $P(X=2) = \frac{4}{9}$ ($2$ kopya bırakarak çoğalması)

Buna göre, bu zararlı yazılımın 2. nesildeki beklenen kopya sayısı ($E[X_2]$) ile er ya da geç sistemden tamamen yok olma olasılığı ($\pi$) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

Bir nükleer reaktördeki nötron çoğalması, bir Galton-Watson dallanma süreci $\{X_n, n \geq 0\}$ ile modellenmektedir. $X_0 = 1$ olmak üzere, bir nötronun bir mikrosaniye içinde parçalanarak yeni nötronlar üretme olasılıkları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Buna göre, bu nötron zincirleme reaksiyonunun nihai olarak sönümlenme (yok olma) olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

Bir tarımsal araştırma enstitüsünde geliştirilen özel bir bitki türünün çoğalması, bir Galton-Watson dallanma süreci $\{X_n, n \geq 0\}$ ile modellenmektedir. Başlangıçta ekilen tek bir tohumdan ($X_0 = 1$) yetişen her bir bitkinin, bir sonraki nesil için vereceği çimlenebilir tohum sayısı $X$ rastgele değişkeni ile gösterilmektedir.

$X$'in olasılık dağılımı aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Buna göre, bu özel bitki türünün soyunun nihai olarak tükenme (yok olma) olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

Bir kamu kurumunda yürütülen bir denetim sürecinde, incelenen her bir dosya, işlem sonucunda rastgele sayıda yeni alt dosya incelenmesini gerektirmektedir. Bu durum bir Galton-Watson dallanma süreci $\{X_n, n \geq 0\}$ ile modellenmektedir.

Başlangıçta incelenen $1$ adet dosya ($X_0 = 1$) bulunmaktadır. Bir dosyanın yarattığı yeni alt dosya sayısının ($Y$) olasılık dağılımı aşağıdaki gibidir:

\begin{itemize}
\item $P(Y = 0) = \frac{1}{6}$
\item $P(Y = 1) = \frac{1}{3}$
\item $P(Y = 2) = \frac{1}{2}$
\end{itemize}

Buna göre, bu denetim sürecinin er ya da geç tamamen sonlanma olasılığı ($\pi$) ile 2. adımda (nesilde) incelenmesi beklenen ortalama dosya sayısı ($E[X_2]$) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

Bir kamu araştırma projesinde her bir çalışma birimi, bir sonraki dönemde kendisinden bağımsız olarak rastgele sayıda yeni alt çalışma birimi oluşturmaktadır. Bir birimin oluşturacağı yeni birim sayısı ($Z$) için olasılık kütle fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

Başlangıçta bir adet çalışma birimi ($X_0=1$) olduğu bilindiğine göre, ikinci nesildeki beklenen çalışma birimi sayısı ($E[X_2]$) kaçtır?

Bir kamu kurumunda personelin mesleki gelişimi için düzenlenen bir eğitim programında, eğitim alan her bir personelin bir sonraki dönemde gönüllü olarak eğiteceği yeni personel sayısı $Z$ rastgele değişkeni ile gösterilmektedir. $Z$ değişkeninin olasılık fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

Başlangıçta bu eğitimi almış bir kişi ($X_0=1$) olduğu ve dallanma sürecinin bağımsız olduğu varsayıldığında, 2. nesildeki (2. dönemdeki) beklenen personel sayısı ($E[X_2]$) kaçtır?

Bir kamu kütüphanesinin dijital arşiv sisteminde paylaşılan bir belgenin, kullanıcılar arasındaki yayılımı bir Galton-Watson dallanma süreci $\{X_n, n \geq 0\}$ ile modellenmektedir. $X_0 = 1$ (başlangıçtaki belge sayısı) olmak üzere, her bir belgenin bir sonraki nesilde oluşturacağı yeni kopya sayısı ($Z$) için olasılık kütle fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

Buna göre, sistemdeki ikinci nesil belge sayısının beklenen değeri ($E[X_2]$) kaçtır?

Bir biyoteknoloji laboratuvarında gözlemlenen bir mikroorganizma türünün çoğalması $\{X_n, n \geq 0\}$ Galton-Watson dallanma süreci ile modellenmektedir. Süreç başlangıçta bir adet mikroorganizma ($X_0 = 1$) ile başlamakta ve her bir mikroorganizma, bir sonraki nesilde kendisinden bağımsız olarak aşağıdaki olasılık kütle fonksiyonuna göre yeni yavrular üretmektedir:

Buna göre, bu dallanma sürecinde ikinci nesildeki beklenen mikroorganizma sayısı ($E[X_2]$) kaçtır?

Bir Galton-Watson dallanma sürecinde, her bir bireyin bir sonraki nesilde oluşturacağı yavru sayısı $X$ rastgele değişkeni ile gösterilmektedir. Başlangıçta bir birey ($X_0 = 1$) ile başlayan bu sürecin bir nesil sonrasındaki yavru dağılımı aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Buna göre, bu dallanma sürecinin nihai olarak yok olma (soyunun tükenmesi) olasılığı kaçtır?

Bir bitki koruma programında yetiştirilen nadir bir türün çoğalması bir Galton-Watson dallanma süreci $\{X_n, n \geq 0\}$ ile modellenmektedir. Her bir bireyin bir sonraki nesle bırakacağı tohum (yavru) sayısının olasılık dağılımı aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Sürecin bir adet birey ile başladığı ($X_0 = 1$) bilindiğine göre, bu sürecin 3. neslindeki beklenen birey sayısı ($E[X_3]$) kaçtır?

Bir kamu kurumunun yürüttüğü sosyal yardım projesinde, sisteme dahil olan her bir gönüllünün bir sonraki dönemde projeye kazandırdığı yeni gönüllü sayısı bir Galton-Watson dallanma süreci ile modellenmektedir. Her bir gönüllünün kazandıracağı yeni kişi sayısına ($X$) ilişkin olasılık kütle fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

Başlangıçta ($n=0$) sisteme dahil olan 1 gönüllü olduğu bilindiğine göre, 2. nesildeki ($n=2$) beklenen gönüllü sayısı kaçtır?

Bir e-ticaret platformunda başlatılan bir davet kampanyasının yayılımı, bir Galton-Watson dallanma süreci $\{X_n, n \geq 0\}$ ile modellenmektedir. Kampanyaya katılan her bir kullanıcı, birbirinden bağımsız olarak;
- $\%20$ olasılıkla kimseye davetiye göndermemekte,
- $\%50$ olasılıkla $1$ kişiye davetiye göndermekte,
- $\%10$ olasılıkla $2$ kişiye davetiye göndermekte,
- $\%20$ olasılıkla $3$ kişiye davetiye göndermektedir.

Başlangıçta ($n=0$) kampanyayı başlatan sadece $1$ kişi ($X_0 = 1$) olduğu bilinmektedir.

Buna göre, bu kampanyanın eninde sonunda tamamen sona erme (sönümlenme) olasılığı ($\pi$) ile 2. adımda (nesilde) davetiye gönderilen beklenen kişi sayısı ($E[X_2]$) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?