Bir üretim tesisinde görevli mühendis, makinelerin günlük çalışma süresi (X, saat) ile tük… — KPSS İstatistik

Bir üretim tesisinde görevli mühendis, makinelerin günlük çalışma süresi ( $X$ , saat) ile tükettikleri enerji miktarı ( $Y$ , kW) arasındaki ilişkiyi incelemek için 20 günlük bir veri seti derlemiştir.

Verilere ait hesaplanan özet istatistikler şöyledir:
- $\bar{X} = 8$ ve $\bar{Y} = 15$
- $\sum_{i=1}^{20} (X_i - \bar{X})^2 = 100$
- $\sum_{i=1}^{20} (Y_i - \bar{Y})^2 = 400$

Mühendis, istatistik yazılımına verileri girerken bağımlı ve bağımsız değişkenleri yanlışlıkla ters atamış, $X$ 'in $Y$ üzerine basit doğrusal regresyonunu ( $X_i = \alpha_0 + \alpha_1 Y_i + v_i$ ) tahmin ederek bu yanlış modelin eğim katsayısını $\hat{\alpha}_1 = 0,2$ bulmuştur.

Eğer mühendis değişkenleri doğru atayıp EKK yöntemine uygun olarak $Y$ 'nin $X$ üzerine regresyon modelini ( $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i$ ) kursaydı, doğru modelin sabit terimi ( $\hat{\beta}_0$ ) ve eğim katsayısı ( $\hat{\beta}_1$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisi olurdu?

A
$\hat{\beta}_0 = -25,0$ ve $\hat{\beta}_1 = 5,0$
B
$\hat{\beta}_0 = 13,4$ ve $\hat{\beta}_1 = 0,2$
C
$\hat{\beta}_0 = -17,0$ ve $\hat{\beta}_1 = 4,0$
$\hat{\beta}_0 = 8,6$ ve $\hat{\beta}_1 = 0,8$ Answer
E
$\hat{\beta}_0 = -4,0$ ve $\hat{\beta}_1 = 0,8$

Answer

Doğru modelin parametreleri

\hat{\beta}_0 = 8,6

\hat{\beta}_1 = 0,8

olarak hesaplanmalıdır.

EKK yönteminde Y'nin X üzerine regresyonunda eğim katsayısı

\hat{\beta}_1 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (X_i - \bar{X})^2}

formülü ile hesaplanırken, X'in Y üzerine regresyonunda

\hat{\alpha}_1 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (Y_i - \bar{Y})^2}

formülü kullanılır. Soru metninde verilen

\hat{\alpha}_1 = 0,2

\sum (Y_i - \bar{Y})^2 = 400

değerleri kullanılarak ortak olan pay kısmı (çapraz çarpımlar toplamı)

0,2 \times 400 = 80

olarak bulunur. Doğru modelin eğim katsayısı için bu değer

X

'in kareler toplamına bölünür:

80 / 100 = 0,8

. Son olarak, regresyon doğrusu

(\bar{X}, \bar{Y})

noktasından geçtiği için sabit terim

\hat{\beta}_0 = 15 - (0,8 \times 8) = 8,6

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

Yanlış kurulan X'in Y üzerine regresyon modelinin eğim katsayısı formülünü kullanarak çapraz çarpımlar toplamını bulmak.

\hat{\alpha}_1 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (Y_i - \bar{Y})^2} \implies 0,2 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{400} \implies \sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) = 80

Her iki regresyon modelinde de eğim katsayısının pay kısmı (çapraz çarpımlar toplamı veya kovaryans) aynıdır. Bu ortak değeri bularak doğru modelin eğimine geçiş yapılabilir.

Bulunan çapraz çarpımlar toplamını, doğru modelin (Y'nin X üzerine) bağımsız değişkeni olan X'in kareler toplamına bölerek eğim katsayısını hesaplamak.

\hat{\beta}_1 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (X_i - \bar{X})^2} = \frac{80}{100} = 0,8

Y'nin X üzerine regresyonunda, açıklayıcı değişken X olduğu için formülün paydasında X'in sapmalarının kareler toplamı yer almalıdır.

Regresyon doğrusunun ortalamalar noktasından geçme özelliğini kullanarak EKK sabit terimini hesaplamak.

\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X} = 15 - (0,8 \times 8) = 15 - 6,4 = 8,6

EKK tahmincilerinin temel özelliklerinden biri, kurulan regresyon modelinin bağımlı ve bağımsız değişkenlerin örneklem ortalamalarından (

\bar{X}, \bar{Y}

) geçmek zorunda olmasıdır.

Key Concept

En Küçük Kareler (EKK) tahmincilerinin hesaplanmasında bağımlı ve bağımsız değişkenlerin rolü ve simetrik olmayan eğim katsayısı özelliği.

Estimated Time:2m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic