Examkin

Question

Difficulty: Very hardYeterlilik (Sufficiency) ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n, θ>0\theta > 0 parametresine sahip ve olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x;θ)={1θ,θ≤x≤2θ0,dig˘er durumlardaf(x; \theta) = \begin{cases} \frac{1}{\theta}, & \theta \leq x \leq 2\theta \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

olan dağılımdan alınan nn çaplı bir rastgele örneklem olsun.

Bu örnekleme dayalı olarak, X(1)=min⁡(X1,…,Xn)X_{(1)} = \min(X_1, \dots, X_n) ve X(n)=max⁡(X1,…,Xn)X_{(n)} = \max(X_1, \dots, X_n) sıra istatistiklerini göstermek üzere, θ\theta parametresi için yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

  1. (X(1),X(n))(X_{(1)}, X_{(n)})Answer
  2. B
    X(1)X_{(1)}
  3. C
    X(n)X_{(n)}
  4. D
    X(n)−X(1)X_{(n)} - X_{(1)}
  5. E
    ∑i=1nXi\sum_{i=1}^n X_i

Answer

θ\theta parametresi için yeterli istatistik (X(1),X(n))(X_{(1)}, X_{(n)}) vektörüdür.
Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu L(θ;x)=1θnI(θ≤x(1))I(x(n)≤2θ)L(\theta; \mathbf{x}) = \frac{1}{\theta^n} I(\theta \leq x_{(1)}) I(x_{(n)} \leq 2\theta) şeklinde yazılır. Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre, bu ifade g(T(x),θ)⋅h(x)g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x}) formatında yazıldığında, θ\theta'yı içeren kısım veriye sadece T(x)T(\mathbf{x}) üzerinden bağlı olmalıdır. Burada parametre θ\theta, hem X(1)X_{(1)} hem de X(n)X_{(n)} ile eşitsizlik ilişkisi içindedir (X(n)/2≤θ≤X(1)X_{(n)}/2 \leq \theta \leq X_{(1)}). İki sınır koşulu da θ\theta'ya bağlı olduğundan, yeterli istatistik bu iki sıra istatistiğinin oluşturduğu (X(1),X(n))(X_{(1)}, X_{(n)}) vektörüdür.

Step-by-Step Solution

1
Örneklemin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu (olabilirlik fonksiyonu) yazınız.
L(θ;x)=∏i=1nf(xi;θ)=∏i=1n1θI(θ≤xi≤2θ)L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n f(x_i; \theta) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\theta} I(\theta \leq x_i \leq 2\theta)
Yeterli istatistiği bulmak için Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni kullanmanın ilk adımı olabilirlik fonksiyonunu oluşturmaktır.
2
Tanım aralığını gösteren gösterge (indicator) fonksiyonunu sıra istatistikleri cinsinden ifade ediniz.
Tüm xix_i değerlerinin θ\theta ile 2θ2\theta arasında olması, örneklemdeki en küçük değerin θ\theta'dan büyük eşit ve en büyük değerin 2θ2\theta'dan küçük eşit olması demektir: I(θ≤X(1))⋅I(X(n)≤2θ)I(\theta \leq X_{(1)}) \cdot I(X_{(n)} \leq 2\theta)
Çarpım durumundaki sınır koşulları, veri setinin ekstremum (minimum ve maksimum) noktaları ile tek bir eşitsizlik sistemine indirgenebilir.
3
Elde edilen sınır koşullarını Neyman Çarpanlara Ayırma formunda yeniden düzenleyiniz.
L(θ;x)=1θnI(X(n)2≤θ≤X(1))⋅1L(\theta; \mathbf{x}) = \frac{1}{\theta^n} I\left(\frac{X_{(n)}}{2} \leq \theta \leq X_{(1)}\right) \cdot 1
Teoreme göre L(θ;x)=g(T(x);θ)⋅h(x)L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}); \theta) \cdot h(\mathbf{x}) formatı elde edilmelidir.
4
gg fonksiyonunu ve dolayısıyla yeterli istatistiği (T(x)T(\mathbf{x})) belirleyiniz.
gg fonksiyonu θ\theta'ya ve veriye sadece X(1)X_{(1)} ve X(n)X_{(n)} üzerinden bağlıdır. Bu nedenle tek boyutlu bir yeterli istatistik yoktur, yeterli istatistik vektörü (X(1),X(n))(X_{(1)}, X_{(n)})'dir.
Parametreye bağlı çarpanın içindeki veriye ait tüm değişkenler yeterli istatistiği oluşturur.

Key Concept

Dağılımın tanım kümesi parametreye bağlı olduğunda, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi gösterge (indicator) fonksiyonları üzerinden uygulanır ve genellikle sıra istatistiklerini yeterli istatistik olarak verir.
Rate this question

Topics

Yeterlilik (Sufficiency) ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

More questions from this topic