Examkin

Question

Difficulty: Very hardYeterlilik (Sufficiency) ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi
Bir araştırmacı, olasılık yoğunluk fonksiyonu
f(x;θ)={2(θ−x)θ2,0<x<θ0,dig˘er durumlardaf(x; \theta) = \begin{cases} \frac{2(\theta - x)}{\theta^2}, & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}
ile verilen dağılımdan nn çaplı X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n rastgele örneklemini çekmiştir. Burada θ>0\theta > 0 bilinmeyen bir parametredir.

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi kullanıldığında, θ\theta parametresi için en küçük yeterli istatistik (minimal sufficient statistic) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    X(n)X_{(n)}
  2. B
    (∑i=1nXi,X(n))\left( \sum_{i=1}^{n} X_i, X_{(n)} \right)
  3. C
    (X(1),X(n))\left( X_{(1)}, X_{(n)} \right)
  4. (X(1),X(2),…,X(n))\left( X_{(1)}, X_{(2)}, \dots, X_{(n)} \right)Answer
  5. E
    ∑i=1nXi\sum_{i=1}^{n} X_i

Answer

Sıra istatistiklerinin tamamını içeren vektör: (X(1),X(2),…,X(n))\left( X_{(1)}, X_{(2)}, \dots, X_{(n)} \right)
Olabilirlik fonksiyonu L(θ;x)=2nθ2nI(x(n)<θ)∏i=1n(θ−xi)I(x(1)>0)L(\theta; \mathbf{x}) = \frac{2^n}{\theta^{2n}} I(x_{(n)} < \theta) \prod_{i=1}^n (\theta - x_i) I(x_{(1)} > 0) olarak yazılır. Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi uyarınca, θ\theta'yı içeren tüm ifadeler ayrıştırılamaz bir bütün olarak yeterli istatistiği tanımlar. Burada ∏i=1n(θ−xi)\prod_{i=1}^n (\theta - x_i) ifadesi nn. dereceden bir polinomdur ve açılımı örneklemin tüm çapraz çarpım toplamlarını gerektirir. İki farklı örneklem için olabilirlik oranının θ\theta'dan bağımsız olabilmesi için, bu örneklemlerin sıra istatistiklerinin birebir aynı olması gerekir. Bu nedenle, hiçbir bilgi kaybı yaşanmaması adına (X(1),X(2),…,X(n))(X_{(1)}, X_{(2)}, \dots, X_{(n)}) sıra istatistiklerinin tamamı en küçük yeterli istatistiktir.

Step-by-Step Solution

1
Olabilirlik (likelihood) fonksiyonunu oluşturmak.
L(θ;x)=∏i=1n2(θ−xi)θ2I(0<xi<θ)L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \frac{2(\theta - x_i)}{\theta^2} I(0 < x_i < \theta)
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni uygulamak için örneklemin ortak dağılım fonksiyonu elde edilmelidir.
2
Gösterge (indicator) fonksiyonunu sıra istatistikleri cinsinden tek bir ifadeye dönüştürmek.
∏i=1nI(0<xi<θ)=I(x(1)>0)I(x(n)<θ)\prod_{i=1}^n I(0 < x_i < \theta) = I(x_{(1)} > 0) I(x_{(n)} < \theta)
Tanım kümesinin θ\theta'ya bağlı olan sınırlarını matematiksel olarak izole edebilmek için en küçük ve en büyük sıra istatistikleri kullanılır.
3
Olabilirlik fonksiyonunu yeniden düzenleyerek parametreye (θ\theta) bağlı olan ve olmayan kısımları çarpanlarına ayırmak.
L(θ;x)=[2nθ2nI(x(n)<θ)∏i=1n(θ−xi)]I(x(1)>0)L(\theta; \mathbf{x}) = \left[ \frac{2^n}{\theta^{2n}} I(x_{(n)} < \theta) \prod_{i=1}^n (\theta - x_i) \right] I(x_{(1)} > 0)
Teoremdeki L=g(T(x),θ)⋅h(x)L = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x}) formatını sağlamak için verinin θ\theta ile nasıl birleştiği incelenmelidir.
4
g(T,θ)g(T, \theta) fonksiyonundaki ∏i=1n(θ−xi)\prod_{i=1}^n (\theta - x_i) terimini analiz etmek.
Bu çarpım θ\theta'nın nn. dereceden bir polinomudur. İfadenin açılımı, verilerin ikili, üçlü ve nn'li tüm çapraz çarpımlarını (temel simetrik polinomları) içerir.
Bu ifadenin daha düşük boyutlu bir istatistiğe (örneğin sadece toplama veya sadece maksimum değere) indirgenip indirgenemeyeceğini test etmek.
5
En küçük yeterli istatistiğe karar vermek.
Polinomun tüm katsayılarının bilinmesi, orijinal veri kümesinin (sırası fark etmeksizin) tamamen bilinmesi ile eşdeğer olduğundan, en küçük yeterli istatistik (X(1),X(2),…,X(n))(X_{(1)}, X_{(2)}, \dots, X_{(n)}) vektörüdür.
Veri ile parametre arasındaki ilişki hiçbir şekilde tek veya iki boyutlu bir özete indirgenemez, tüm sıra istatistikleri gereklidir.

Key Concept

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ile Polinomik Çarpanlarda Yeterlilik Analizi
Rate this question

Topics

Yeterlilik (Sufficiency) ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

More questions from this topic