Examkin

Question

Difficulty: HardNokta Tahmin Edici Kavramı ve İstatistik

İstatistiksel çıkarım sürecinde temel yapı taşları olan "parametre", "tahmin edici" (estimator) ve "tahmin" (estimate) kavramları ile bu kavramların matematiksel özellikleri hakkında aşağıda verilen ifadelerden hangisi kesinlikle yanlıştır?

  1. Bir parametreyi tahmin etmek amacıyla kullanılan herhangi bir T(X1,…,Xn)T(X_1, \dots, X_n) tahmin edicisinin varyansı, her durumda Hata Kareler Ortalamasına (MSE) eşittir; çünkü örneklem verilerinden hesaplanan bir istatistik doğası gereği sistematik yanlılık (bias) içeremez.Answer
  2. B
    Bilinmeyen θ\theta parametresi sabit bir gerçek sayı iken, θ\theta'nın nokta tahmin edicisi olan θ^\hat{\theta}, örneklem uzayından parametre uzayına tanımlı bir fonksiyon (istatistik) olduğu için bir rastgele değişkendir ve yansız olması onun her zaman tutarlı (consistent) olmasını gerektirmez.
  3. C
    Bir TT tahmin edicisi, yeterli (sufficient) ve yansız bir istatistik olsa bile, tamlık (completeness) özelliği gösteren bir istatistik ailesine dayanmıyorsa, Lehmann-Scheffe teoremi gereği Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE) olduğu garanti edilemez.
  4. D
    Bilinmeyen bir θ\theta parametresini içeren Xˉ−θS/n\frac{\bar{X} - \theta}{S/\sqrt{n}} gibi bir eksen (pivot) fonksiyonu aralık tahmininde kullanılabilirken, formülünde parametre bulunduğu için nokta tahmin edicisi (istatistik) olarak kullanılamaz.
  5. E
    En çok olabilirlik yöntemiyle (MLE) elde edilen bir tahmin edici, gözlemlere dayanan bir istatistik olmak zorundadır ve parametrenin bir g(θ)g(\theta) fonksiyonunun tahmin edicisi aranırken değişmezlik (invariance) kuralıyla doğrudan g(θ^MLE)g(\hat{\theta}_{MLE}) yazılması istatistik tanımına aykırı değildir.

Answer

Bir tahmin edicisinin varyansının her durumda Hata Kareler Ortalamasına (MSE) eşit olduğunu ve istatistiklerin yanlılık içeremeyeceğini iddia eden ifade yanlıştır.
Doğru cevap olan ifade, tahmin edicilerin varyansı ile Hata Kareler Ortalamasını (MSE) birbirine eşitleyen ve istatistiklerin yanlılık (bias) içeremeyeceğini iddia eden seçenektir. Matematiksel istatistikte bir istatistik (ve dolayısıyla nokta tahmin edicisi), yalnızca örneklem verilerinin bir fonksiyonudur ve kuralı bilinmeyen parametreyi içermez. Ancak bu durum, onun yansız (unbiased) olmasını garanti etmez. Bir tahmin edicinin beklenen değeri ile gerçek parametre değeri arasındaki farka yan (bias) denir. Tahmin edicinin MSE'si, varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına (MSE=Var(θ^)+Bias2MSE = Var(\hat{\theta}) + Bias^2) eşittir. Bu nedenle, ancak yansız tahmin ediciler için MSE varyansa eşittir; genel durumda istatistiklerin yan barındıramayacağı önermesi kesinlikle yanlıştır.

Step-by-Step Solution

1
Tahmin edici (estimator) ve istatistik kavramlarının matematiksel tanımlarını hatırlayın.
İstatistik, sadece örneklem verilerinin bir fonksiyonudur ve bilinmeyen parametre içeremez.
Kavramsal sınırları netleştirmek.
2
İstatistiklerin yanlılık (bias) durumu ile Hata Kareler Ortalaması (MSE) formülünü gözden geçirin.
Bir istatistik yanlılık barındırabilir. MSE formülü şu şekildedir: MSE(θ^)=Var(θ^)+[Bias(θ^)]2MSE(\hat{\theta}) = Var(\hat{\theta}) + [Bias(\hat{\theta})]^2.
Varyans ile MSE arasındaki matematiksel ilişkiyi doğrulamak.
3
Seçeneklerde yer alan iddiaları, istatistik tanımı ve MSE özellikleri bağlamında değerlendirin.
Varyansın her zaman MSE'ye eşit olabilmesi için Bias=0Bias = 0 (yansızlık) olması gerekir; istatistiklerin doğası gereği yan barındıramayacağı tezi teorik olarak yanlıştır.
Yanlış olan önermeyi kesin olarak tespit etmek.

Key Concept

İstatistik, Nokta Tahmin Edici ve Hata Kareler Ortalaması (MSE) İlişkisi
Rate this question

Topics

Nokta Tahmin Edici Kavramı ve İstatistik

More questions from this topic