İstatistiksel sonuç çıkarımında iki kitle varyansının oranına (\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^… — KPSS İstatistik

İstatistiksel sonuç çıkarımında iki kitle varyansının oranına ( $\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}$ ) ilişkin aralık tahmini yapılacaktır.

$X_1, X_2, \ldots, X_{n_1}$ rastgele örneklemi $N(\mu_1, \sigma_1^2)$ dağılımından, $Y_1, Y_2, \ldots, Y_{n_2}$ rastgele örneklemi ise $N(\mu_2, \sigma_2^2)$ dağılımından birbirinden bağımsız olarak alınmıştır. Kitle ortalamaları ( $\mu_1, \mu_2$ ) bilinmemektedir.

Örneklem varyansları sırasıyla $S_1^2 = \frac{1}{n_1-1} \sum_{i=1}^{n_1} (X_i - \bar{X})^2$ ve $S_2^2 = \frac{1}{n_2-1} \sum_{i=1}^{n_2} (Y_i - \bar{Y})^2$ olarak tanımlandığına göre, bu varyans oranının güven aralığını elde etmek için kullanılması gereken pivot (eksen) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2}$ Answer
B
$\frac{S_1^2}{S_2^2}$
C
$\frac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$
D
$\frac{S_1^2 / n_1}{S_2^2 / n_2}$
E
$\frac{(n_1-1)S_1^2}{\sigma_1^2} + \frac{(n_2-1)S_2^2}{\sigma_2^2}$

Answer

\frac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2}

istatistiği, aranan parametre oranını elde etmek için kullanılabilecek geçerli pivot fonksiyonudur.

Varyansların oranına yönelik güven aralığı oluşturmak için, hem örneklem varyanslarını (

S_1^2, S_2^2

) hem de ilgili parametreleri (

\sigma_1^2, \sigma_2^2

) içeren ve dağılımı bilinen bir fonksiyona ihtiyaç vardır. Ki-kare dağılımlı bağımsız iki rastgele değişkenin, serbestlik derecelerine bölünüp oranlanmasıyla elde edilen

\frac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2}

fonksiyonu,

F_{n_1-1, n_2-1}

dağılımına sahiptir. Bu dağılım tamamen bilindiği ve parametre içermediği için geçerli ve uygun eksen (pivot) fonksiyonudur.

Step-by-Step Solution

Pivot fonksiyonunun tanımını hatırlamak.

Pivot fonksiyonu, örneklem istatistikleri ve tahmin edilecek parametreyi içeren, ancak olasılık dağılımı hiçbir bilinmeyen parametreye bağlı olmayan bir fonksiyondur.

Doğru fonksiyonu seçmek için temel koşulları belirlemek.

Normal dağılımlı kitlelerden alınan örneklem varyanslarının kitle varyansına oranının dağılımını belirlemek.

Bilinmeyen ortalama durumunda:

\frac{(n_1-1)S_1^2}{\sigma_1^2} \sim \chi^2_{n_1-1}

\frac{(n_2-1)S_2^2}{\sigma_2^2} \sim \chi^2_{n_2-1}

dağılımına sahiptir.

Parametre içermeyen standart bir dağılıma ulaşmak için temel istatistikleri kullanmak.

İki bağımsız Ki-kare değişkenini kullanarak varyans oranını (

\sigma_1^2/\sigma_2^2

) yalıtacak bir dağılım oluşturmak.

Bağımsız iki Ki-kare değişkeni kendi serbestlik derecelerine bölünüp oranlandığında F dağılımı elde edilir:

\frac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2} \sim F_{n_1-1, n_2-1}

Hem aranan parametre oranını barındıran hem de dağılımı tamamen bilinen bir denklem kurmak.

Elde edilen fonksiyonun pivot (eksen) koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol etmek.

İlgili oran

S_1^2

S_2^2

istatistiklerini ve hedef parametre olan

\sigma_1^2/\sigma_2^2

'yi ters orantılı olarak içermektedir. Dağılımı olan

F_{n_1-1, n_2-1}

ise hiçbir bilinmeyen parametreye bağlı değildir.

Bulunan ifadenin aralık tahmini amacıyla eşitsizlik içine yerleştirilebilecek geçerli bir pivot olduğunu doğrulamak.

Key Concept

İki Kitle Varyansının Oranı İçin Pivot Fonksiyonu ve F Dağılımı

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic