Pivot (Eksen) Fonksiyonu Yöntemi Practice Questions — KPSS İstatistik

Question 1Question →

$X_1, X_2, \ldots, X_n$ rastgele örneklemi, ortalaması $\mu$ ve varyansı $\sigma^2$ olan normal dağılımlı bir kitleden alınmıştır. $\mu$ parametresi için bir güven aralığı oluşturmak amacıyla eksen (pivot) fonksiyonu yöntemi kullanılacaktır.

Kitle varyansı $\sigma^2$ 'nin bilinmediği bu durumda, $\mu$ için uygun eksen fonksiyonu $Q$ ve bu fonksiyonun örneklem dağılımı aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?
( $\bar{X}$ : Örneklem ortalaması, $S$ : Örneklem standart sapması)

Q = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}

olup, dağılımı

n-1

serbestlik dereceli

t

dağılımıdır.

Q = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}

olup, dağılımı standart normal (

N(0,1)

) dağılımdır.

Q = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}

olup, dağılımı standart normal (

N(0,1)

) dağılımdır.

Q = \bar{X} - \mu

olup, dağılımı varyansı

\sigma^2/n

olan normal dağılımdır.

Q = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}

olup, dağılımı

n-1

serbestlik dereceli Ki-kare (

\chi^2

) dağılımıdır.

Show answer & explanation

Answer: $Q = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}$ olup, dağılımı $n-1$ serbestlik dereceli $t$ dağılımıdır.

Answer

\mu

için uygun eksen fonksiyonu

Q = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}

formülüne sahiptir ve dağılımı

n-1

serbestlik dereceli

t

dağılımıdır.

Bir fonksiyonun eksen (pivot) fonksiyonu olabilmesi için üç temel şartı sağlaması gerekir: 1) Örneklem verisine ve tahmin edilecek parametreye (

\mu

) bağlı olmalıdır. 2) Formülü, kitle varyansı (

\sigma^2

) gibi diğer bilinmeyen parametreleri (nuisance parameters) içermemelidir. 3) Olasılık dağılımı tamamen bilinmeli, parametrelerden bağımsız olmalıdır. Varyans bilinmediğinde kitle standart sapması yerine örneklem standart sapması (

S

) kullanılır. Bu durumda elde edilen

Q = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}

fonksiyonu hesaplanabilirdir ve olasılık dağılımı (n-1 serbestlik dereceli

t

dağılımı) hiçbir bilinmeyen parametreye bağlı değildir.

Step-by-Step Solution

1

Eksen (pivot) fonksiyonunun temel özelliklerini tanımla.

Eksen fonksiyonu, örneklem değerlerine ve tahmin edilecek parametreye bağlı olmalı; ancak hesaplanmasında başka bir bilinmeyen parametreye ihtiyaç duymamalı ve örneklem dağılımı hiçbir bilinmeyen parametreye bağlı olmamalıdır.

Doğru fonksiyonu seçmek için yöntemin teorik tanımına ihtiyaç vardır.

2

Kitle varyansı (

\sigma^2

) bilinmediği durum için uygun dönüşümü belirle.

Standartlaştırma işlemi yapılırken bilinmeyen kitle standart sapması (

\sigma

) yerine örneklem standart sapması (

S

) kullanılır.

Eksen fonksiyonunun hesaplanabilir olması için bilinmeyen parametrelerin tahmin edicilerle değiştirilmesi gerekir.

3

Elde edilen istatistiğin örneklem dağılımını tespit et.

Normal dağılımlı bir kitleden alınan örneklemde,

\bar{X}

ve

S

kullanılarak elde edilen

Q = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}

istatistiği

n-1

serbestlik dereceli

t

dağılımına uyar.

Güven sınırlarını doğru tablo değerleriyle hesaplayabilmek için kesin dağılımın bilinmesi şarttır.

Key Concept

Eksen (Pivot) Fonksiyonu Tanımı ve Dağılımları

Question 2Question →

İstatistiksel sonuç çıkarımında iki kitle varyansının oranına ( $\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}$ ) ilişkin aralık tahmini yapılacaktır.

$X_1, X_2, \ldots, X_{n_1}$ rastgele örneklemi $N(\mu_1, \sigma_1^2)$ dağılımından, $Y_1, Y_2, \ldots, Y_{n_2}$ rastgele örneklemi ise $N(\mu_2, \sigma_2^2)$ dağılımından birbirinden bağımsız olarak alınmıştır. Kitle ortalamaları ( $\mu_1, \mu_2$ ) bilinmemektedir.

Örneklem varyansları sırasıyla $S_1^2 = \frac{1}{n_1-1} \sum_{i=1}^{n_1} (X_i - \bar{X})^2$ ve $S_2^2 = \frac{1}{n_2-1} \sum_{i=1}^{n_2} (Y_i - \bar{Y})^2$ olarak tanımlandığına göre, bu varyans oranının güven aralığını elde etmek için kullanılması gereken pivot (eksen) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2}

\frac{S_1^2}{S_2^2}

\frac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}

\frac{S_1^2 / n_1}{S_2^2 / n_2}

\frac{(n_1-1)S_1^2}{\sigma_1^2} + \frac{(n_2-1)S_2^2}{\sigma_2^2}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2}$

Answer

\frac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2}

istatistiği, aranan parametre oranını elde etmek için kullanılabilecek geçerli pivot fonksiyonudur.

Varyansların oranına yönelik güven aralığı oluşturmak için, hem örneklem varyanslarını (

S_1^2, S_2^2

) hem de ilgili parametreleri (

\sigma_1^2, \sigma_2^2

) içeren ve dağılımı bilinen bir fonksiyona ihtiyaç vardır. Ki-kare dağılımlı bağımsız iki rastgele değişkenin, serbestlik derecelerine bölünüp oranlanmasıyla elde edilen

\frac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2}

fonksiyonu,

F_{n_1-1, n_2-1}

dağılımına sahiptir. Bu dağılım tamamen bilindiği ve parametre içermediği için geçerli ve uygun eksen (pivot) fonksiyonudur.

Step-by-Step Solution

1

Pivot fonksiyonunun tanımını hatırlamak.

Pivot fonksiyonu, örneklem istatistikleri ve tahmin edilecek parametreyi içeren, ancak olasılık dağılımı hiçbir bilinmeyen parametreye bağlı olmayan bir fonksiyondur.

Doğru fonksiyonu seçmek için temel koşulları belirlemek.

2

Normal dağılımlı kitlelerden alınan örneklem varyanslarının kitle varyansına oranının dağılımını belirlemek.

Bilinmeyen ortalama durumunda:

\frac{(n_1-1)S_1^2}{\sigma_1^2} \sim \chi^2_{n_1-1}

ve

\frac{(n_2-1)S_2^2}{\sigma_2^2} \sim \chi^2_{n_2-1}

dağılımına sahiptir.

Parametre içermeyen standart bir dağılıma ulaşmak için temel istatistikleri kullanmak.

3

İki bağımsız Ki-kare değişkenini kullanarak varyans oranını (

\sigma_1^2/\sigma_2^2

) yalıtacak bir dağılım oluşturmak.

Bağımsız iki Ki-kare değişkeni kendi serbestlik derecelerine bölünüp oranlandığında F dağılımı elde edilir:

\frac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2} \sim F_{n_1-1, n_2-1}

.

Hem aranan parametre oranını barındıran hem de dağılımı tamamen bilinen bir denklem kurmak.

4

Elde edilen fonksiyonun pivot (eksen) koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol etmek.

İlgili oran

S_1^2

,

S_2^2

istatistiklerini ve hedef parametre olan

\sigma_1^2/\sigma_2^2

'yi ters orantılı olarak içermektedir. Dağılımı olan

F_{n_1-1, n_2-1}

ise hiçbir bilinmeyen parametreye bağlı değildir.

Bulunan ifadenin aralık tahmini amacıyla eşitsizlik içine yerleştirilebilecek geçerli bir pivot olduğunu doğrulamak.

Key Concept

İki Kitle Varyansının Oranı İçin Pivot Fonksiyonu ve F Dağılımı

Question 3Question →

$X_1, X_2, \ldots, X_n$ rastgele örneklemi, ortalaması $\mu$ ve varyansı $\sigma^2$ olan normal dağılımlı bir kitleden çekilmiştir. Kitleye ait $\mu$ ve $\sigma^2$ parametrelerinin her ikisi de bilinmemektedir.

Bu örneklem kullanılarak $\sigma^2$ parametresi için bir güven aralığı oluşturulmak istenmektedir. ( $S^2$ örneklem varyansını, $\bar{X}$ örneklem ortalamasını göstermektedir.)

Buna göre, $\sigma^2$ parametresi için aralık tahmininde kullanılabilecek uygun bir pivot (eksen) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}

\frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2}{\sigma^2}

\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2

\frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}

\frac{(n-1)S^2}{\sigma}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$

Answer

Dağılımı

\chi^2_{n-1}

olan ve sadece veriler ile hedeflenen

\sigma^2

parametresine bağlı olan

\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}

fonksiyonudur.

Bir

Q(X, \theta)

fonksiyonunun

\theta

için pivot olabilmesi için iki temel şartı eşzamanlı sağlaması gerekir: Birincisi, ifade sadece örneklem verisi

X

'e ve aralığı bulunacak hedeflenen

\theta

parametresine bağlı olmalıdır (bilinmeyen başka hiçbir rahatsız edici/nuisance parametre içermemelidir). İkincisi,

Q(X, \theta)

'nın örneklemleme dağılımı,

\theta

dahil hiçbir bilinmeyen parametreye bağlı olmamalı, tamamen bilinen sabit bir dağılım olmalıdır. Doğru seçenekteki

\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}

fonksiyonu, sadece hesaplanabilen örneklem varyansını (

S^2

) ve hedef parametre

\sigma^2

'yi içerir. Olasılık dağılımı ise serbestlik derecesi

(n-1)

olan Ki-kare (

\chi^2_{n-1}

) dağılımıdır. Bu dağılım

\mu

veya

\sigma^2

'ye bağlı olmayan sabit bir dağılım olduğundan geçerli bir pivot fonksiyonudur.

Step-by-Step Solution

1

Pivot fonksiyonu olabilme şartlarını hatırla.

1) Fonksiyon sadece örneklem verisine ve tahmin edilecek hedeflenen parametreye bağlı olmalı (başka bilinmeyen parametre içermemeli). 2) Fonksiyonun olasılık dağılımı, hiçbir bilinmeyen parametreye bağlı olmamalı.

Güven aralığı alt ve üst sınırlarını veriye bağlı olarak çözebilmek için bu matematiksel özellikler zorunludur.

2

Tahmin edilecek parametreyi ve bilinen/bilinmeyenleri belirle.

Hedef parametre

\sigma^2

'dir. Verilenlere göre kitle ortalaması

\mu

bilinmemektedir.

Hangi parametreye göre güven aralığı oluşturulacağını bilmek, doğru test istatistiğini seçmek için gereklidir.

3

Normal dağılımdan gelen örneklem varyansı ile kitle varyansı arasındaki ilişkiyi yaz.

Normal kitlede

\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}

istatistiğinin dağılımı,

(n-1)

serbestlik dereceli Ki-kare (

\chi^2_{n-1}

) dağılımına uyar.

Varyans analizinde standart olarak kullanılan örneklem dağılımı teoremidir.

4

Bulunan istatistiği pivot şartlarına göre test et.

\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}

fonksiyonu sadece örneklem verisini (

S^2

) ve hedef parametreyi (

\sigma^2

) içerir, bilinmeyen

\mu

'yü içermez. Ayrıca dağılımı olan

\chi^2_{n-1}

, hiçbir bilinmeyen parametreye bağlı değildir (tamamen bilinen bir dağılımdır).

Her iki pivot şartı da sağlandığı için bu fonksiyon

\sigma^2

için güvenilir bir pivot (eksen) fonksiyonudur.

Key Concept

Pivot (Eksen) Fonksiyonunun Tanımı ve Özellikleri

Estimated Time:1m 0s

Question 4Question →

Bir finansal risk uzmanı, belirli bir varlığın günlük maksimum kayıp oranlarını analiz etmektedir. Yapılan modellemelere göre bu kayıp oranları, $(0, \theta)$ aralığında sürekli düzgün (üniform) dağılıma sahiptir. Uzman, $n$ günlük rastgele bir örneklem almış ve bu örnekleme ait en büyük sıra istatistiğini $X_{(n)} = \max(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ olarak belirlemiştir.

Uzman, $\theta$ parametresine yönelik bir güven aralığı tahmininde bulunabilmek için $X_{(n)}$ istatistiğine dayalı bir pivot (eksen) fonksiyonu tanımlamak istemektedir.

Buna göre, aşağıda verilen fonksiyonlardan hangisi $\theta$ parametresi için dağılımı bilinmeyen parametreden tamamen bağımsız olan geçerli bir pivot fonksiyondur?

\frac{X_{(n)}}{\theta}

X_{(n)} - \theta

\frac{X_{(n)}^2}{\theta}

\frac{X_{(n)}}{\sqrt{\theta}}

n(X_{(n)} - \theta)

Show answer & explanation

Answer: $\frac{X_{(n)}}{\theta}$

Answer

\frac{X_{(n)}}{\theta}

ifadesi, sahip olduğu olasılık dağılımı bilinmeyen parametreden (

\theta

) tamamen bağımsız olduğu için geçerli bir pivot fonksiyondur.

Geçerli olan oransal dönüşüm seçeneği doğru cevaptır. Çünkü

X_{(n)}

'in dağılımındaki

\theta^n

paydası, verinin

\theta

'ya bölünmesiyle elde edilen dönüşümde tam olarak sadeleşir. Böylece elde edilen yeni istatistiğin kümülatif dağılımı (

u^n

) sadece örneklem çapı

n

'e bağlı hale gelir ve

\theta

'dan arınmış bir pivot fonksiyon elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Pivot fonksiyonunun kavramsal tanımını hatırlama

Bir fonksiyonun aralık tahmininde pivot olarak kullanılabilmesi için, örneklem değerlerine ve bilinmeyen parametreye bağlı olması, ancak olasılık dağılımının (PDF/CDF) bilinmeyen parametreyi hiçbir şekilde içermemesi gerekir.

Güven aralığı sınırlarını (kritik değerleri) hesaplarken, olasılık eşitliklerinde bilinmeyen bir parametrenin bulunmaması şarttır.

2

En büyük sıra istatistiği

X_{(n)}

'in olasılık dağılımını belirleme

X_i \sim U(0, \theta)

olduğundan,

X_{(n)}

'in kümülatif dağılım fonksiyonu (CDF)

0 < x < \theta

aralığında

F(x) = \left(\frac{x}{\theta}\right)^n

olarak elde edilir.

Seçeneklerdeki aday fonksiyonların dağılımını test edebilmek için öncelikle temel alınan istatistiğin dağılımı bulunmalıdır.

3

Doğru oransal dönüşümü uygulayarak bağımsızlığı test etme

U = \frac{X_{(n)}}{\theta}

dönüşümü yapıldığında, kümülatif dağılım fonksiyonu

P\left(\frac{X_{(n)}}{\theta} \le u\right) = P(X_{(n)} \le u\theta) = \left(\frac{u\theta}{\theta}\right)^n = u^n

(

0 < u < 1

) olarak bulunur.

Elde edilen

u^n

dağılımı

\theta

'dan tamamen arınmıştır. Toplamsal veya farklı kuvvetlerdeki dönüşümler (diğer seçenekler) test edildiğinde

\theta

'nın sadeleşmediği görülür.

Key Concept

Pivot fonksiyonlarının dağılımsal bağımsızlığı ve en büyük sıra istatistiği dönüşümleri

Question 5Question →

Bir elektronik sistemde yer alan sensörlerin arıza verme süresi (saat cinsinden) $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x; \theta) = \frac{x}{\theta^2} e^{-x/\theta}, \quad x > 0, \quad \theta > 0

Bu sensörlerden rastgele seçilen $n$ tanesinin arıza süreleri bağımsız olarak $X_1, X_2, \ldots, X_n$ olarak gözlemlenmiştir. $\theta$ parametresi için eksen (pivot) fonksiyonu yöntemiyle bir güven aralığı oluşturulmak istenmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi $\theta$ için küçük örneklem özelliklerini de koruyan kesin (tam) bir eksen fonksiyonudur ve bu fonksiyonun doğru dağılımı nedir?

Q = \frac{\bar{X} - 2\theta}{S / \sqrt{n}} \sim t_{(n-1)}

Q = \frac{2}{\theta} \sum_{i=1}^{n} X_i \sim \chi^2_{(2n)}

Q = \frac{2}{\theta} \sum_{i=1}^{n} X_i \sim \chi^2_{(4n)}

Q = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i - 2n\theta}{\sqrt{2n}\theta} \sim N(0, 1)

Q = \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^{n} X_i \sim \chi^2_{(4n)}

Show answer & explanation

Answer: $Q = \frac{2}{\theta} \sum_{i=1}^{n} X_i \sim \chi^2_{(4n)}$

Answer

Doğru eksen fonksiyonu, 4n serbestlik derecesine sahip Ki-kare dağılımına uyan Q = (2/θ) * ΣX_i istatistiğidir.

Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonu, şekil parametresi 2 ve ölçek parametresi

\theta

olan bir Gamma dağılımını ifade etmektedir. Bağımsız

n

adet

\text{Gamma}(2, \theta)

rastgele değişkeninin toplamı, yine bir Gamma dağılımı olan

\text{Gamma}(2n, \theta)

'ya eşittir. Olasılık teorisinden bilindiği üzere,

Y \sim \text{Gamma}(k, \theta)

formundaki bir değişken için

\frac{2Y}{\theta}

dönüşümü yapıldığında elde edilen yeni değişken serbestlik derecesi

2k

olan Ki-kare (

\chi^2

) dağılımına uyar. Burada

k = 2n

olduğundan serbestlik derecesi

2(2n) = 4n

olur. Dağılımın artık

\theta

parametresine bağlı olmaması, onu tam ve kesin bir eksen (pivot) fonksiyonu yapar.

Step-by-Step Solution

1

Kitle dağılımının parametrik ailesini ve özelliklerini belirle.

f(x; \theta) = \frac{1}{\theta^2} x e^{-x/\theta}

fonksiyonu,

\alpha=2

(şekil) ve

\beta=\theta

(ölçek) parametrelerine sahip Gamma dağılımıdır. Yani her bir

X_i \sim \text{Gamma}(2, \theta)

.

Dağılım ailesini bilmek, örneklem toplamının tam dağılımını türetmek için gereklidir.

2

Örneklem değerlerinin toplamının (

Y = \sum_{i=1}^n X_i

) dağılımını bul.

Bağımsız Gamma değişkenlerinin toplamı kuralına göre,

Y \sim \text{Gamma}(n \cdot 2, \theta) = \text{Gamma}(2n, \theta)

olur.

Eksen fonksiyonları genellikle yeterli istatistikler üzerinden (burada verilerin toplamı) inşa edilir.

3

Gamma dağılımından parametreden bağımsız bir dağılıma (Ki-kare) dönüşüm yap.

Eğer bir

Y \sim \text{Gamma}(k, \theta)

ise,

Q = \frac{2Y}{\theta} \sim \chi^2_{(2k)}

kuralı geçerlidir.

Bir fonksiyonun eksen (pivot) fonksiyonu olabilmesi için dağılımının

\theta

'dan tamamen bağımsız olması gerekir.

4

k=2n

değerini formülde yerine koyarak nihai eksen fonksiyonunu elde et.

k = 2n

olduğundan,

2k = 4n

olur. Dolayısıyla

Q = \frac{2}{\theta} \sum_{i=1}^{n} X_i \sim \chi^2_{(4n)}

elde edilir.

Bu istatistik hem gözlemleri (

X_i

) hem de bilinmeyen parametreyi (

\theta

) içerir ve dağılımı (

\chi^2_{4n}

) parametreden tamamen bağımsızdır.

Key Concept

Pivot (Eksen) Fonksiyonu Yöntemi ile Aralık Tahmini

Question 6Question →

Bir çevre mühendisi, belirli bir nehirdeki ağır metal derişimlerini (mg/L cinsinden) analiz etmektedir. $n = 16$ farklı noktadan alınan rastgele ve bağımsız su örneklerine ait ölçüm değerleri $X_1, X_2, \ldots, X_{16}$ olup, bu değerlerin Lognormal $(\mu, \sigma^2)$ dağılımına sahip olduğu bilinmektedir. Dağılımın hem $\mu$ hem de $\sigma^2$ parametreleri bilinmemektedir.

Araştırmacı, verileri normalleştirmek amacıyla $Y_i = \ln(X_i)$ dönüşümünü uygulamış; dönüştürülmüş veriler üzerinden örneklem ortalamasını $\bar{Y}$ ve örneklem varyansını $S_Y^2 = \frac{1}{15}\sum_{i=1}^{16} (Y_i - \bar{Y})^2$ olarak hesaplamıştır.

Buna göre, $\mu$ parametresi için bir güven aralığı oluşturmak amacıyla kullanılması gereken en uygun pivot (eksen) fonksiyonu ve bu fonksiyonun tam dağılımı aşağıdakilerden hangisidir?

Q = \frac{\bar{Y} - \mu}{S_Y / 4} \sim t_{(15)}

Q = \frac{\bar{Y} - \mu}{S_Y / 4} \sim N(0, 1)

Q = \frac{\bar{X} - \mu}{S_X / 4} \sim t_{(15)}

Q = \frac{15 S_Y^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{(15)}

Q = \frac{\bar{Y} - \mu}{\sigma / 4} \sim N(0, 1)

Show answer & explanation

Answer: $Q = \frac{\bar{Y} - \mu}{S_Y / 4} \sim t_{(15)}$

Answer

\mu

parametresi için en uygun pivot fonksiyonu, dönüştürülmüş veriler (Y) üzerinden oluşturulan ve kitle varyansı bilinmediği için

S_Y

kullanan,

n-1=15

serbestlik dereceli

t

dağılımına sahip fonksiyondur.

Doğru seçenek, Lognormal dönüşümü doğru bir şekilde uygulayıp verileri

N(\mu, \sigma^2)

dağılımına indirgeyen ve kitle varyansı bilinmediği için örneklem standart sapmasını (

S_Y

) kullanarak tam olarak

n-1=15

serbestlik dereceli

t

dağılımını veren pivot fonksiyonudur.

Step-by-Step Solution

1

Veri dönüşümünün dağılımsal sonucunu belirleme.

X_i \sim Lognormal(\mu, \sigma^2)

olduğundan, logaritma dönüşümü sonrası

Y_i = \ln(X_i) \sim N(\mu, \sigma^2)

olur.

Lognormal dağılımın temel özelliği gereği, rastgele değişkenin doğal logaritması her zaman Normal dağılıma uyar.

2

Aranan parametreyi izole edecek temel formülasyonu kurma.

\mu

parametresi için örneklem ortalaması

\bar{Y}

kullanılacaktır. Hem

\mu

hem de

\sigma^2

bilinmediğinden,

\sigma

yerine örneklem standart sapması

S_Y

kullanılmalıdır.

Bir fonksiyonun pivot olabilmesi için dağılımının bilinmeyen hiçbir parametreye bağlı olmaması ve hesaplanabilir olması gerekir. Bilinmeyen

\sigma

'yı fonksiyonda bırakmak pivot kuralını bozar.

3

İstatistiğin tam dağılımını ve serbestlik derecesini (df) belirleme.

İstatistik

Q = \frac{\bar{Y} - \mu}{S_Y / \sqrt{16}} = \frac{\bar{Y} - \mu}{S_Y / 4}

biçimini alır ve dağılımı

n-1 = 15

serbestlik dereceli Student's t (

t_{(15)}

) olur.

Normal dağılımlı bir kitleden çekilen örneklemde, ortalamanın standartlaştırılmasında kitle varyansı yerine örneklem varyansı kullanıldığında, istatistik kesin olarak t dağılımını izler.

Key Concept

Pivot fonksiyonu oluşturulurken; dönüştürülmüş verinin dağılım özellikleri dikkate alınmalı, fonksiyon tahmin edilecek parametreyi içermeli ve fonksiyonun olasılık dağılımı bilinmeyen hiçbir parametreye bağlı olmamalıdır.

Question 7Question →

Bir eğitim araştırmacısı, iki farklı öğretim yönteminin sınav puanları üzerindeki etkisini karşılaştırmaktadır. Yöntemlerin uygulandığı iki bağımsız grubun puanları, sırasıyla normal dağılımlı kitlelerden ( $N(\mu_1, \sigma^2)$ ve $N(\mu_2, \sigma^2)$ ) çekilmiş $n_1$ ve $n_2$ hacimli rastgele örneklemler ile modellenmektedir. Kitle varyansları bilinmemekte ancak eşit olduğu varsayılmaktadır.

Araştırmacı, iki kitle ortalaması farkı ( $\mu_1 - \mu_2$ ) için bir güven aralığı hesaplamak istemektedir. $S_p^2$ ortak (pooled) örneklem varyansını göstermek üzere, bu amaçla kullanılması gereken en uygun pivot (eksen) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{S_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}

\frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sigma \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}

\frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{S_1^2 + S_2^2}}

\frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2)}{S_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}

\frac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{\sigma^2}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{S_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}$

Answer

İki kitle ortalaması farkı için ortak varyans hesabı kullanan T istatistiği formülüdür.

Pivot fonksiyon; ilgilenilen parametreyi içeren, örneklem verilerinden hesaplanabilen, başka bilinmeyen (nuisance) parametre barındırmayan ve dağılımı parametrelerden bağımsız olan bir fonksiyondur. İki kitle ortalaması farkı (

\mu_1 - \mu_2

) için eşit varyanslar varsayımı altında hesaplanan T istatistiği,

n_1+n_2-2

serbestlik dereceli Student-t dağılımına uyar. Bu ifade herhangi bir bilinmeyen parametre içermediği ve dağılımı parametreden bağımsız olduğu için geçerli bir pivottur.

Step-by-Step Solution

1

Pivot fonksiyonun teorik tanımını değerlendirmek.

Geçerli bir pivot fonksiyon, yalnızca örneklem verilerini ve aranan parametreyi içermeli, başka bilinmeyen parametre barındırmamalı ve olasılık dağılımı parametrelerden bağımsız olmalıdır.

Yanlış bir fonksiyon seçmemek için öncelikle tanım kriterlerini doğrulamak gerekir.

2

Kitle varyanslarının durumuna göre test istatistiğini belirlemek.

Kitle varyansları bilinmiyor ve eşit varsayılıyor. Bu durumda Z dağılımı yerine Student-t dağılımı kullanılır.

\sigma

bilinmediği için örneklem varyansları kullanılarak bir standart hata tahmini yapılmalıdır.

3

Ortak (pooled) varyans formülünü standart hataya entegre etmek.

Standart hata

S_p \sqrt{1/n_1 + 1/n_2}

şeklinde hesaplanır ve örneklem ortalamaları farkından aranan parametre çıkarılarak standardize edilir.

İki kitle varyansı eşit olduğunda, varyansların en iyi yansız tahmini iki örneklemden elde edilen bilgilerin ağırlıklı ortalamasıyla (ortak varyans) bulunur.

Key Concept

İki Kitle Ortalaması Farkı İçin Pivot Fonksiyonu ve T Dağılımı

Question 8Question →

Bir malzeme mühendisi, yeni üretilen fiber optik kabloların kopma gerilimlerini (megapascal cinsinden) incelemektedir. Kabloların kopma gerilimi olan $X$ rastgele değişkeninin, $\theta > 0$ ölçek parametresine sahip Rayleigh dağılımına uyduğu ve olasılık yoğunluk fonksiyonunun aşağıdaki gibi olduğu bilinmektedir:

f(x; \theta) = \frac{x}{\theta^2} e^{-\frac{x^2}{2\theta^2}}, \quad x > 0

Mühendis, $n$ birimlik rastgele bir örneklem ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) üzerinden $\theta^2$ parametresi için eksen (pivot) fonksiyonu yöntemini kullanarak bir güven aralığı oluşturmak istemektedir.

Buna göre, $\theta^2$ parametresi için aralık tahmininde kullanılabilecek geçerli eksen fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

Q = \frac{\sum_{i=1}^n X_i^2}{\theta^2}

Q = \frac{(n-1)S^2}{\theta^2}

Q = \frac{\bar{X} - \theta}{S/\sqrt{n}}

Q = \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\theta^2}

Q = \frac{\sum_{i=1}^n X_i^2}{\theta}

Show answer & explanation

Answer: $Q = \frac{\sum_{i=1}^n X_i^2}{\theta^2}$

Answer

Verilen dağılımda parametreden bağımsız bir istatistik elde etmek için dönüşüm yapıldığında Q = \sum X_i^2 / \theta^2 ifadesinin geçerli eksen fonksiyonu olduğu görülür.

Verilen Rayleigh olasılık yoğunluk fonksiyonunda x'in karesi ile \theta'nın karesi orantılı bir şekilde bulunmaktadır. Bir fonksiyonun eksen fonksiyonu olabilmesi için olasılık dağılımının bilinmeyen parametreden bağımsız olması gerekir. X_i^2 / \theta^2 dönüşümü yapıldığında bu oran standart bir olasılık dağılımına (Ki-kare veya Üstel) uyar ve \theta'dan arınır. Bu terimlerin toplamı da parametreden bağımsız olacağı için güven aralığı oluşturulmasında doğrudan eksen fonksiyonu olarak kullanılabilir.

Step-by-Step Solution

1

Eksen (pivot) fonksiyonunun temel tanımını hatırlama.

Bir Q(X, \theta) fonksiyonunun eksen fonksiyonu olabilmesi için dağılımının bilinmeyen \theta parametresinden tamamen bağımsız olması gerektiği tespit edilir.

Güven aralığı sınırlarını hesaplayabilmek için tablolardan elde edilecek kritik değerlerin bilinmeyen parametreye bağlı olmaması şarttır.

2

Verilen Rayleigh olasılık yoğunluk fonksiyonunu inceleme.

f(x; \theta) fonksiyonundaki üstel terimin -x^2 / (2\theta^2) olduğu görülür.

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun yapısı, hangi dönüşümün dağılımı parametreden arındıracağına dair en güçlü ipucunu verir.

3

Dağılımı parametreden bağımsızlaştıracak matematiksel dönüşümü belirleme.

Y_i = X_i^2 / \theta^2 dönüşümü yapıldığında, elde edilen yeni değişkenin dağılımının parametreden bağımsız olan standart bir dağılıma (Üstel veya Ki-kare) dönüştüğü görülür.

Rastgele değişkenin karesi alınıp parametrenin karesine bölündüğünde ölçek parametresi sadeleşir.

4

Örneklem toplamı üzerinden eksen fonksiyonunu oluşturma.

Q = \sum_{i=1}^n (X_i^2 / \theta^2) fonksiyonunun dağılımı, bağımsız ve aynı dağılımlı değişkenlerin toplamı olduğundan yine parametreden bağımsızdır (2n serbestlik dereceli Ki-kare dağılımı).

n birimlik örneklem için tüm gözlemlerin bilgi katkısını içeren ve dağılımı tamamen bilinen bir Q fonksiyonu inşa edilmiş olur.

Key Concept

Eksen (Pivot) Fonksiyonu Tanımı ve Dönüşüm Yöntemi

Question 9Question →

Bir biyolog, belirli bir bakteri kültürünün hayatta kalma oranlarını ( $0$ ile $1$ arasında bir değer) incelemektedir. Bu oranların olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilen dağılıma uyduğu bilinmektedir:

f(x; \theta) = \theta x^{\theta-1}, \quad 0 < x < 1, \quad \theta > 0

Biyolog, birbirinden bağımsız $n$ farklı kültürden elde edilen $X_1, X_2, \ldots, X_n$ rastgele örneklemini kullanarak $\theta$ parametresi için bir güven aralığı oluşturmak istemektedir.

Buna göre, bu güven aralığını elde etmek için kullanılabilecek tam (exact) pivot (eksen) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

Q = -2\theta \sum_{i=1}^{n} \ln(X_i)

Q = -\frac{2}{\theta} \sum_{i=1}^{n} \ln(X_i)

Q = -2\theta \sum_{i=1}^{n} X_i

Q = \frac{\bar{X} - \theta}{S / \sqrt{n}}

Q = \frac{2}{\theta} \sum_{i=1}^{n} X_i^2

Show answer & explanation

Answer: $Q = -2\theta \sum_{i=1}^{n} \ln(X_i)$

Answer

Doğru eksen (pivot) fonksiyonu

Q = -2\theta \sum_{i=1}^{n} \ln(X_i)

ifadesidir.

Bir fonksiyonun pivot olabilmesi için dağılımının bilinmeyen parametreden (burada

\theta

) bağımsız olması gerekir. Sorudaki

X

değişkeninin yoğunluk fonksiyonu incelendiğinde,

Y = -\ln(X)

dönüşümü yapıldığında

Y \sim \text{Üstel}(\theta)

dağılımına ulaşılır. Bu dağılımı

\theta

'dan kurtarmak için

\theta

ile çarparız:

\theta Y = -\theta \ln(X) \sim \text{Üstel}(1)

. İstatistik biliminde bilindiği üzere,

\text{Üstel}(1)

dağılımı 2 ile çarpıldığında 2 serbestlik dereceli Ki-kare (

\chi^2_2

) dağılımına dönüşür. Dolayısıyla her bir gözlem için

-2\theta \ln(X_i) \sim \chi^2_2

olur. Bağımsız

n

adet gözlemin toplamı da

2n

serbestlik dereceli Ki-kare dağılımına (

\chi^2_{2n}

) uyar. Bulunan

-2\theta \sum_{i=1}^{n} \ln(X_i)

ifadesinin dağılımı

\theta

'dan tamamen bağımsız olduğu için tam (exact) bir pivot fonksiyonudur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen dağılım için uygun bir değişken dönüşümü araştırmak.

Y = -\ln(X)

dönüşümü yapılırsa,

Y

'nin dağılımının

\text{Üstel}(\theta)

olduğu görülür.

Pivot fonksiyonu elde edebilmek için dağılımı bilinen ve parametreleri ayrıştırılabilen standart bir dağılıma geçiş yapmak gerekir.

2

Y

değişkeninin dağılımını parametreden (

\theta

) bağımsız hale getirmek.

W = \theta Y = -\theta \ln(X)

değişkeninin dağılımı

\text{Üstel}(1)

olur. Bu dağılım

\theta

'dan bağımsızdır.

Pivot fonksiyonunun en temel özelliği, dağılımının bilinmeyen parametreyi içermemesidir.

3

Örneklemdeki

n

adet gözlemin toplamı üzerinden bilinen bir örneklem istatistiği oluşturmak.

W_i \sim \text{Üstel}(1)

ise

2W_i \sim \chi^2_2

dağılımına uyar.

n

adet bağımsız gözlemin toplamı olan

\sum_{i=1}^n 2W_i = -2\theta \sum_{i=1}^n \ln(X_i)

,

2n

serbestlik dereceli Ki-kare (

\chi^2_{2n}

) dağılımına sahip olur.

Güven aralığı oluşturulurken genellikle Ki-kare gibi tabloları bulunan standart dağılımlar kullanıldığından, ifadeyi Ki-kareye dönüştürmek amaçlanır.

Key Concept

Pivot (Eksen) Fonksiyonunun Tanımı ve Değişken Dönüşümü

Estimated Time:1m 30s

Question 10Question →

Bir enerji kurumu uzmanı, belirli bir bölgedeki rüzgâr türbinlerinin arızasız çalışma sürelerini (saat cinsinden) modellemektedir. Arızasız çalışma sürelerinin $X \sim \text{Üstel}(\theta)$ dağılımına sahip olduğu ve bu dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun $x > 0$ için $f(x) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}$ olduğu bilinmektedir.

Uzman, $n$ hacimli rastgele bir örneklem ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) alarak ortalama arızasız çalışma süresini ifade eden $\theta$ parametresi için bir güven aralığı oluşturmak istemektedir.

Buna göre, uzmanın kitle parametresi $\theta$ için aralık tahmininde kullanması gereken en uygun pivot (eksen) fonksiyonu ve bu fonksiyonun örneklemleme dağılımı aşağıdakilerden hangisidir?

Q = \frac{2 \sum_{i=1}^{n} X_i}{\theta}

fonksiyonudur ve

\chi^2_{2n}

dağılımına uyar.

Q = \sum_{i=1}^{n} X_i

fonksiyonudur ve

Gamma(n, \theta)

dağılımına uyar.

Q = \frac{\bar{X} - \theta}{S/\sqrt{n}}

fonksiyonudur ve

t_{n-1}

dağılımına uyar.

Q = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i}{\theta}

fonksiyonudur ve

\chi^2_n

dağılımına uyar.

Q = \frac{n \bar{X}}{\theta^2}

fonksiyonudur ve

\chi^2_{n-1}

dağılımına uyar.

Show answer & explanation

Answer: $Q = \frac{2 \sum_{i=1}^{n} X_i}{\theta}$ fonksiyonudur ve $\chi^2_{2n}$ dağılımına uyar.

Answer

Kitle parametresi

\theta

için doğru pivot fonksiyonu

Q = \frac{2 \sum_{i=1}^{n} X_i}{\theta}

şeklindedir ve bu fonksiyon

\chi^2_{2n}

(2n serbestlik dereceli Ki-kare) dağılımına uyar.

Doğru pivot fonksiyonu, örneklem verilerini ve bilinmeyen parametreyi matematiksel olarak içeren, ancak örneklemleme dağılımı hiçbir bilinmeyen parametreye bağlı olmayan fonksiyondur.

X_i \sim \text{Üstel}(\theta)

olduğunda, her bir

X_i

için dönüşüm yapılarak

\frac{2X_i}{\theta} \sim \chi^2_2

olduğu bulunur. Bu bağımsız

n

adet rastgele değişkenin toplamı alındığında,

\sum_{i=1}^n \frac{2X_i}{\theta} = \frac{2\sum_{i=1}^n X_i}{\theta}

fonksiyonu elde edilir. Bağımsız Ki-kare değişkenlerinin toplamı, serbestlik derecelerinin toplamına eşit bir Ki-kare dağılımına sahip olacağından, bu fonksiyon

\chi^2_{2n}

dağılımına uyar. Dağılım

\theta

'dan bağımsız olduğu için kitle parametresi aralık tahmininde geçerli bir pivot fonksiyonudur.

Step-by-Step Solution

1

Pivot fonksiyonunun tanımını ve aranan şartları belirlemek.

Aranan

Q(X, \theta)

fonksiyonu hem örneklem değerlerini hem de

\theta

'yı içermeli, ancak dağılımı

\theta

'dan (ve diğer olası bilinmeyen parametrelerden) tamamen bağımsız olmalıdır.

Aralık tahmini yapabilmek için sınır değerlerinin parametreden bağımsız standart tablolardan elde edilebilir olması gerekir.

2

X_i \sim \text{Üstel}(\theta)

dağılımı için parametreden bağımsız bir dağılım elde edecek doğrusal dönüşümü uygulamak.

X_i

rastgele değişkeni üstel dağıldığında, değişkeni kendi parametresine bölüp 2 ile çarptığımızda elde edilen

Y_i = \frac{2X_i}{\theta}

rastgele değişkeni 2 serbestlik dereceli Ki-kare (

\chi^2_2

) dağılımına uyar.

Üstel dağılım (

\alpha=1, \beta=\theta

olan Gamma dağılımı) ile Ki-kare dağılımı (

\alpha=k/2, \beta=2

olan Gamma dağılımı) arasındaki ilişkiyi kullanarak parametreden bağımsız bir form elde etmek.

3

Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamını alarak tüm örneklemi kullanan bir fonksiyon oluşturmak.

n

adet bağımsız

\chi^2_2

dağılımlı değişkenin toplamı alınır.

\sum_{i=1}^n \frac{2X_i}{\theta} = \frac{2 \sum_{i=1}^n X_i}{\theta}

ifadesi, bağımsız Ki-karelerin serbestlik derecelerinin toplanması kuralı gereği

\chi^2_{2n}

dağılımına uyar.

Tüm örneklem bilgisini (yeterli istatistik olan toplamı) işin içine katarak kitle parametresi için en dar (etkin) güven aralığını oluşturabilmek.

Key Concept

Pivot Fonksiyonu Yöntemi ve Üstel Dağılım Dönüşümü

Estimated Time:1m 30s

Question 11Question →

Bir tekstil fabrikasında üretilen ipliklerin kopma mukavemetinin (Newton) $N(\mu, \sigma^2)$ dağılımına uygun olduğu bilinmektedir. Fabrika standartlarına göre mukavemet ortalaması $\mu = 200$ Newton olarak kesin bir şekilde sabitlenmiştir. Kalite kontrol sorumlusu, üretim sürecindeki değişkenliği kontrol etmek amacıyla varyans ( $\sigma^2$ ) parametresi için bir güven aralığı hesaplamak istemektedir. $n$ birimlik bir tesadüfi örneklem ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) seçildiğinde, $\sigma^2$ parametresi için güven aralığı oluşturmada kullanılabilecek ve **serbestlik derecesi $n$ olan ki-kare ( $\chi^2_n$ ) dağılımına sahip** pivot (eksen) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

Q = \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - 200)^2}{\sigma^2}

Q = \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2}{\sigma^2}

Q = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}

Q = \frac{\bar{X} - 200}{\sigma / \sqrt{n}}

Q = \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - 200)}{\sigma}

Show answer & explanation

Answer: $Q = \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - 200)^2}{\sigma^2}$

Answer

Varyans parametresi için kitle ortalamasının bilindiği durumda kullanılan pivot fonksiyonu

\frac{\sum (X_i - \mu)^2}{\sigma^2}

şeklindedir.

Kitle ortalaması

\mu

bilindiğinde, her bir gözlemden bilinen bu sabit değer çıkarılıp standart sapmaya bölündüğünde elde edilen standart normal değişkenlerin (

Z_i

) kareleri toplamı, gözlem sayısı olan

n

serbestlik dereceli bir ki-kare dağılımı üretir. Bu durumda

\sigma^2

paydada yer aldığı için bu fonksiyon bir pivot fonksiyonudur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen dağılım ve parametrelerin belirlenmesi

X \sim N(\mu, \sigma^2)

ve

\mu = 200

(biliniyor).

Pivot fonksiyonu seçimi, kitle parametrelerinden hangilerinin bilindiğine göre değişir.

2

Değişkenlerin standartlaştırılması

Z_i = \frac{X_i - 200}{\sigma} \sim N(0, 1)

Ki-kare dağılımı, standart normal değişkenlerin karelerinin toplamı olarak tanımlanır.

3

Kareler toplamının dağılımının bulunması

\sum_{i=1}^{n} Z_i^2 = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{X_i - 200}{\sigma} \right)^2 = \frac{\sum (X_i - 200)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_n

Bağımsız

n

adet standart normal değişkenin kareleri toplamı,

n

serbestlik dereceli ki-kare dağılımı verir.

Key Concept

Pivot (Eksen) Fonksiyonu Tanımı ve Dağılımı

Hints

1

Bir fonksiyonun pivot olabilmesi için dağılımının bilinmeyen parametreye bağlı olmaması gerekir.

2

Normal dağılımdan gelen örneklemlerde varyans için güven aralığı oluşturulurken genellikle ki-kare dağılımından yararlanılır.

3

Kitle ortalaması biliniyorsa serbestlik derecesinde bir azalma olmaz,

n

olarak kalır.

Practice More

Ortalamanın bilinmediği durumda pivot fonksiyonunun nasıl değiştiğini ve serbestlik derecesindeki farkın nedenini inceleyin.

Estimated Time:1m 30s

Question 12Question →

$X_1, X_2, \dots, X_n$ , olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x; \theta) = \frac{1}{\theta} e^{-(x-1)/\theta}, \quad x > 1, \quad \theta > 0

şeklinde verilen bir kitleden alınan rasgele bir örneklemi temsil etmektedir. Bu kitle parametresi $\theta$ için güven aralığı oluşturulurken kullanılacak olan ve $\chi^2$ (Ki-kare) dağılımı sergileyen pivot (eksen) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{2 \sum_{i=1}^n (X_i - 1)}{\theta}

\frac{2 \sum_{i=1}^n X_i}{\theta}

\frac{\sum_{i=1}^n (X_i - 1)}{\theta^2}

\frac{\bar{X} - 1}{n\theta}

\frac{\sum_{i=1}^n X_i - 1}{\theta}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{2 \sum_{i=1}^n (X_i - 1)}{\theta}$

Answer

Kitlenin kaydırılmış üstel dağılımına uygunluğu nedeniyle, her bir gözlemden 1 çıkarılıp parametreye oranlanarak elde edilen toplamın 2 katı, yani

2 \sum (X_i - 1) / \theta

ifadesi

2n

serbestlik dereceli Ki-kare dağılımı verir.

Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonu, 1 birim sağa kaydırılmış bir üstel dağılımdır. Bu nedenle

X_i - 1

dönüşümü yapıldığında elde edilen yeni değişkenler standart

\theta

parametreli üstel dağılıma uyar. Üstel dağılımda

\sum 2Y_i / \theta

ifadesinin

2n

serbestlik dereceli Ki-kare dağılımı verdiği bilindiğinden, doğru cevap bu dönüşümü içeren ifadedir.

Step-by-Step Solution

1

Değişken dönüşümü yaparak yeni bir

Y

değişkeni tanımlayın.

Y_i = X_i - 1

olsun. Buradan

x > 1

için

y > 0

elde edilir.

Pivot fonksiyonu elde etmek için öncelikle kitlenin standart bir dağılıma (üstel dağılım) dönüştürülmesi gerekir.

2

Y_i

değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulun.

f_Y(y) = \frac{1}{\theta} e^{-y/\theta}, \quad y > 0

(Üstel Dağılım).

Kaydırma parametresi arındırıldığında

Y_i

değişkenleri

\theta

parametreli üstel dağılıma sahip olur.

3

Üstel dağılım ile Ki-kare dağılımı arasındaki ilişkiyi uygulayın.

Y \sim \text{Üstel}(\theta) \Rightarrow \frac{2Y}{\theta} \sim \chi^2_{(2)}

.

Standart bir istatistiksel özellik olarak, ortalaması

\theta

olan üstel dağılımın

2/\theta

katı 2 serbestlik dereceli Ki-kare dağılımına eşittir.

4

Bağımsız rasgele değişkenlerin toplamı özelliğini kullanarak örneklem geneline yayın.

\sum_{i=1}^n \frac{2(X_i - 1)}{\theta} = \frac{2 \sum_{i=1}^n (X_i - 1)}{\theta} \sim \chi^2_{(2n)}

.

Bağımsız Ki-kare değişkenlerinin toplamı, serbestlik derecelerinin toplamına eşit olan yeni bir Ki-kare değişkeni oluşturur.

Key Concept

Pivot (Eksen) Fonksiyonu ve Dağılım Dönüşümleri

Practice More

Farklı dağılımlar (Örneğin Uniform veya Gamma) için pivot fonksiyonu seçiminde parametrenin konum (location) veya ölçek (scale) parametresi olmasına dikkat ederek pratik yapın.

Estimated Time:1m 30s

Question 13Question →

Bir standart enstitüsünde üretilen çelik vidaların boyları (cm), varyansı $\sigma^2 = 0,25$ olan normal dağılıma uygundur. Bu vidalardan rastgele seçilen $n$ birimlik bir örneklemin ortalaması $\bar{X}$ ile gösterilmektedir. Buna göre, kitlenin bilinmeyen ortalaması $\mu$ parametresi için güven aralığı oluşturulurken kullanılan pivot (eksen) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{\bar{X} - \mu}{0,5 / \sqrt{n}}

\frac{\bar{X} - \mu}{0,25 / \sqrt{n}}

\frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}

\frac{\bar{X}}{\mu}

\frac{\bar{X} - \mu}{0,5}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{\bar{X} - \mu}{0,5 / \sqrt{n}}$

Answer

Bilinmeyen kitle ortalaması için pivot fonksiyonu

\frac{\bar{X} - \mu}{0,5 / \sqrt{n}}

ifadesidir.

Pivot fonksiyonunun en temel özelliği, dağılımının tahmin edilecek parametreden bağımsız olmasıdır. Kitle varyansı bilinen normal dağılımda, örneklem ortalaması

\bar{X}

'ın standartlaştırılmış hali olan

Z

istatistiği (

N(0,1)

dağılımına sahip) bu şartı sağlar.

\sigma^2 = 0,25

ise

\sigma = 0,5

olur ve doğru pivot fonksiyonu

\frac{\bar{X} - \mu}{0,5 / \sqrt{n}}

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Kitle dağılımını ve parametreleri belirleyin.

X \sim N(\mu, \sigma^2 = 0,25)

olduğu verilmiştir.

Pivot fonksiyonu seçimi kitle dağılımına ve varyansın bilinip bilinmediğine bağlıdır.

2

Kitle standart sapmasını hesaplayın.

\sigma = \sqrt{0,25} = 0,5

cm.

Normal dağılımda ortalama için standart pivot fonksiyonu paydada varyansı değil, standart sapmayı kullanır.

3

Standart normal dağılıma sahip pivot fonksiyonunu oluşturun.

Q(X, \mu) = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{\bar{X} - \mu}{0,5 / \sqrt{n}}

Bu fonksiyonun dağılımı

N(0,1)

olup bilinmeyen

\mu

parametresinden bağımsızdır, bu da onu geçerli bir pivot fonksiyonu yapar.

Key Concept

Pivot fonksiyonu, dağılımı tahmin edilmek istenen bilinmeyen parametreden bağımsız olan fonksiyondur.

Question 14Question →

Bir araştırmacı, ortalaması $\mu$ ve varyansı $\sigma^2$ olan normal dağılıma sahip bir kitleden $n$ birimlik bir rastgele örneklem seçmiştir. Kitle varyansının ( $\sigma^2$ ) değerinin kesin olarak bilindiği varsayılırsa; kitle ortalaması $\mu$ için güven aralığı oluşturulurken başvurulan temel pivot (eksen) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}

\frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}

\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}

\frac{\bar{X}}{\mu}

\frac{\bar{X} + \mu}{\sigma / \sqrt{n}}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

Answer

Kitle varyansı bilindiğinde kitle ortalaması için kullanılan pivot fonksiyonu

(\bar{X} - \mu) / (\sigma / \sqrt{n})

ifadesidir.

Ortalaması

\mu

ve varyansı

\sigma^2

olan normal dağılımdan alınan bir örneklem için, örneklem ortalamasından kitlenin beklenen değerinin çıkarılıp standart hataya (bilinen varyans üzerinden) bölündüğü ifade

N(0, 1)

dağılımına sahiptir. Bu dağılım bilinmeyen

\mu

parametresine bağlı olmadığı için bu ifade geçerli bir pivot fonksiyonudur.

Step-by-Step Solution

1

Pivot fonksiyonu tanımını gözden geçir.

Bir

Q(X, \theta)

fonksiyonunun dağılımı, bilinmeyen

\theta

parametresinden bağımsız ise bu fonksiyona pivot (eksen) fonksiyonu denir.

Pivot yönteminin temel gerekliliğini doğrulamak için.

2

Normal dağılımın özelliklerini ve bilinenleri analiz et.

Kitlenin

N(\mu, \sigma^2)

olduğu ve

\sigma^2

'nin bilindiği belirtilmiştir. Bu durumda örneklem ortalamasının dağılımı

\bar{X} \sim N(\mu, \sigma^2/n)

olur.

Uygun istatistiksel dönüşümü belirlemek için.

3

Standartlaştırma işlemini uygula.

Z = (\bar{X} - \mu) / (\sigma / \sqrt{n})

dönüşümü yapıldığında

Z \sim N(0, 1)

elde edilir.

Parametreden bağımsız bir dağılım elde etmek için.

Key Concept

Pivot fonksiyonunun dağılımı parametreden bağımsız olmalıdır.

Estimated Time:45s

Question 15Question →

Kitle ortalaması $\mu$ ve varyansı $\sigma^2$ olan normal dağılıma sahip bir ana kütleden $n$ hacimli bir rastgele örneklem çekilmiştir. Kitle varyansının ( $\sigma^2$ ) bilindiği varsayımı altında, $\mu$ parametresine ilişkin güven aralığı hesaplanırken temel alınan ve dağılımı parametreden bağımsız olan pivot (eksen) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}

\frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}

\frac{\bar{X}}{\sigma / \sqrt{n}}

\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}

\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / n}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

Answer

\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}

ifadesi doğru pivot fonksiyonudur.

Kitle varyansı bilindiğinde, örneklem ortalamasının standartlaştırılmasıyla elde edilen

\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}

ifadesi, ortalaması 0 ve varyansı 1 olan bir standart normal dağılım izler. Bu dağılım

\mu

parametresine bağlı olmadığı için tanım gereği geçerli bir pivot fonksiyondur.

Step-by-Step Solution

1

Örneklem ortalamasının dağılımını belirle.

\bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})

Normal dağılıma sahip bir kitleden alınan örneklemin ortalaması da normal dağılım gösterir.

2

Örneklem ortalamasını standartlaştır.

Z = \frac{\bar{X} - E(\bar{X})}{\sqrt{V(\bar{X})}} = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}

Bir normal değişkenin ortalamasını çıkarıp standart sapmasına bölmek, değişkeni standart normal dağılıma dönüştürür.

3

Sonucun parametreden bağımsızlığını kontrol et.

Z \sim N(0, 1)

Oluşturulan fonksiyon hem bilinmeyen parametreyi (

\mu

) içermekte hem de dağılımı bu parametreden bağımsız (0 ve 1 sabitlerine bağlı) olmaktadır.

Key Concept

Pivot fonksiyonu, örneklem değerlerini ve tahmin edilmek istenen parametreyi içeren ancak olasılık dağılımı bu parametreye bağlı olmayan bir fonksiyondur.

Question 16Question →

$X_1, X_2, \ldots, X_n$ rastgele örneklemi, olasılık yoğunluk fonksiyonu $f(x; \theta) = \frac{1}{\theta}, \quad 0 < x < \theta$ olan düzgün (uniform) dağılımdan çekilmiştir.

Bilinmeyen $\theta$ parametresi için eksen (pivot) fonksiyonu yöntemiyle $\%100(1-\alpha)$ güven düzeyinde en kısa güven aralığı oluşturulmak istenmektedir.

Buna göre, doğru eksen fonksiyonu seçimi ve bu fonksiyon kullanılarak elde edilen en kısa güven aralığı aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

(Not: $X_{(n)} = \max(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ örneklem maksimumudur.)

Eksen Fonksiyonu:

Q = X_{(n)} - \theta

ve Güven Aralığı:

\left[ X_{(n)} - (1-\alpha)^{1/n}, X_{(n)} \right]

Eksen Fonksiyonu:

Q = \frac{\bar{X} - \theta/2}{S/\sqrt{n}}

ve Güven Aralığı:

\left[ 2\bar{X} - Z_{\alpha/2}\frac{2S}{\sqrt{n}}, 2\bar{X} + Z_{\alpha/2}\frac{2S}{\sqrt{n}} \right]

Eksen Fonksiyonu:

Q = \frac{X_{(n)}}{\theta}

ve Güven Aralığı:

\left[ \alpha^{1/n} X_{(n)}, X_{(n)} \right]

Eksen Fonksiyonu:

Q = \frac{X_{(n)}}{\theta}

ve Güven Aralığı:

\left[ \left(1-\frac{\alpha}{2}\right)^{-1/n} X_{(n)}, \left(\frac{\alpha}{2}\right)^{-1/n} X_{(n)} \right]

Eksen Fonksiyonu:

Q = \frac{X_{(n)}}{\theta}

ve Güven Aralığı:

\left[ X_{(n)}, \alpha^{-1/n} X_{(n)} \right]

Show answer & explanation

Answer: Eksen Fonksiyonu: $Q = \frac{X_{(n)}}{\theta}$ ve Güven Aralığı: $\left[ X_{(n)}, \alpha^{-1/n} X_{(n)} \right]$

Answer

Doğru eksen fonksiyonu

Q = \frac{X_{(n)}}{\theta}

olup, elde edilen en kısa güven aralığı

\left[ X_{(n)}, \alpha^{-1/n} X_{(n)} \right]

şeklindedir.

Doğru seçenekte

Q = X_{(n)} / \theta

doğru bir pivot fonksiyonu olarak tanımlanmış, dağılımı

\theta

'dan bağımsız bulunmuştur. En kısa güven aralığı şartını sağlamak için,

\theta

'nın katsayısı olan aralık uzunluk fonksiyonu minimize edilmiş, asimetrik

nq^{n-1}

yoğunluk fonksiyonunun en yüksek değer aldığı tepe noktasına (üst sınır 1'e) dayalı olarak hesaplamalar yapılıp tam optimizasyon sağlanmıştır.

Step-by-Step Solution

1

Eksen (pivot) fonksiyonunun koşulunu kontrol et ve doğru fonksiyonu seç.

Q = \frac{X_{(n)}}{\theta}

istatistiği seçilir. Dağılım fonksiyonu

F_Q(q) = P\left(\frac{X_{(n)}}{\theta} \le q\right) = P(X_{(n)} \le q\theta) = \left(\frac{q\theta}{\theta}\right)^n = q^n

bulunur.

Bir istatistiğin eksen fonksiyonu olabilmesi için dağılımının bilinmeyen parametreden (θ) tamamen bağımsız olması gerekir.

2

Güven aralığı sınırlarını veren temel olasılık eşitsizliğini kur.

P(c_1 \le Q \le c_2) = 1-\alpha \implies P\left(c_1 \le \frac{X_{(n)}}{\theta} \le c_2\right) = 1-\alpha

denklemi yazılır ve buradan aralığın alt ve üst sınırları

\left[ \frac{X_{(n)}}{c_2}, \frac{X_{(n)}}{c_1} \right]

olarak elde edilir.

θ'yı eşitsizliğin ortasında yalnız bırakarak aralık formunu elde etmek gereklidir.

3

En kısa güven aralığı için aralık uzunluğunu (L) minimize eden

c_1

ve

c_2

değerlerini bul.

Aralık boyu

L = X_{(n)}\left(\frac{1}{c_1} - \frac{1}{c_2}\right)

'dir. L'yi en küçük yapmak için

c_2

'yi alabileceği en büyük değere eşitlemek gerekir.

Q

'nun yoğunluk fonksiyonu

(0,1)

aralığında tanımlı olduğundan

c_2 = 1

alınır.

Dağılım asimetrik ve sağa doğru artan (

f(q) = nq^{n-1}

) karakterde olduğundan olasılık kütlesini sağ uca dayamak aralığı daraltır.

4

c_2 = 1

değerini olasılık denkleminde yerine koyarak

c_1

'i hesapla ve nihai aralığı yaz.

\int_{c_1}^{1} n q^{n-1} dq = 1^n - c_1^n = 1-\alpha \implies c_1^n = \alpha \implies c_1 = \alpha^{1/n}

bulunur. Sınırlar yerine konduğunda aralık

\left[ \frac{X_{(n)}}{1}, \frac{X_{(n)}}{\alpha^{1/n}} \right]

olur.

Seçilen üst kritik değer kullanılarak, geriye kalan

\alpha

hata payı üzerinden alt kritik değer (

c_1

) matematiksel olarak türetilmiş olur.

Key Concept

Düzgün dağılımda yeterli istatistik üzerinden eksen (pivot) fonksiyonu türetimi ve aralık uzunluğu minimizasyonu

Question 17Question →

$X_1, X_2, \ldots, X_n$ , olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x; \theta) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}, \quad x > 0

olan üstel dağılımdan alınmış $n$ hacimli bir rastgele örneklemdir ( $\theta > 0$ ).

Bilinmeyen $\theta$ parametresi için eksen (pivot) fonksiyonu yöntemiyle bir güven aralığı oluşturulmak istenmektedir.

Buna göre, kullanılması gereken en uygun pivot fonksiyonu ve bu fonksiyonun tam (kesin) dağılımı aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

Pivot:

\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\theta}

, Dağılım:

n

serbestlik dereceli Ki-kare (

\chi^2_{n}

)

Pivot:

\frac{\bar{X} - \theta}{\theta / \sqrt{n}}

, Dağılım:

n-1

serbestlik dereceli Student-t (

t_{n-1}

)

Pivot:

\frac{2 \sum_{i=1}^n X_i}{\theta}

, Dağılım:

2n

serbestlik dereceli Ki-kare (

\chi^2_{2n}

)

Pivot:

2\theta \sum_{i=1}^n X_i

, Dağılım:

2n

serbestlik dereceli Ki-kare (

\chi^2_{2n}

)

Pivot:

\frac{\bar{X} - \theta}{S / \sqrt{n}}

, Dağılım: Standart Normal (

N(0,1)

)

Show answer & explanation

Answer: Pivot: $\frac{2 \sum_{i=1}^n X_i}{\theta}$ , Dağılım: $2n$ serbestlik dereceli Ki-kare ( $\chi^2_{2n}$ )

Answer

En uygun eksen fonksiyonu

\frac{2 \sum_{i=1}^n X_i}{\theta}

'dır ve dağılımı

2n

serbestlik dereceli Ki-kare (

\chi^2_{2n}

)'dir.

Verilen

X_i

değişkenleri üstel dağılıma sahiptir. Bu değişkenleri parametreye bölerek

X_i/\theta \sim Exp(1)

elde ederiz. Bu standart üstel değişkenleri 2 sabiti ile çarptığımızda

2X_i/\theta \sim \chi^2_2

(2 serbestlik dereceli Ki-kare) dağılımını elde ederiz. Bağımsız Ki-kare değişkenlerinin toplamı da Ki-kare dağılacağından,

n

adet değişkenin toplamı olan

\frac{2 \sum X_i}{\theta} \sim \chi^2_{2n}

olur. Bu ifade hem örneklemi hem

\theta

'yı içerir ve dağılımı

\theta

'dan tamamen bağımsızdır. Dolayısıyla aralık tahmini için tanıma tam uyan en uygun eksen (pivot) fonksiyonudur.

Step-by-Step Solution

1

Örneklemdeki her bir değişkenin standartlaştırılması.

X_i \sim Exp(ortalama = \theta)

olduğundan,

Z_i = X_i/\theta \sim Exp(1)

olur.

Eksen fonksiyonu elde etmek için istatistiğin dağılımını bilinmeyen parametreden arındırmak gerekir.

2

Standartlaştırılmış değişkenlerin dönüştürülmesi.

Z_i \sim Exp(1)

iken, bu değişkeni 2 ile çarptığımızda

2Z_i

değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu

(1-2t)^{-1}

olur. Bu da

\chi^2_2

dağılımını gösterir.

Üstel dağılım ile standart ve tablolarda kolayca bulunabilen Ki-kare dağılımı arasındaki ilişkiyi kurmak.

3

Toplam istatistiğinin dağılımının bulunması.

Bağımsız

n

adet

\chi^2_2

değişkeninin toplamı olan

\sum (2Z_i) = \frac{2 \sum X_i}{\theta}

rastgele değişkeni

\chi^2_{2n}

dağılımına sahip olur.

Bağımsız Ki-kare değişkenlerinin toplamının serbestlik dereceleri toplanır.

4

Pivot şartının kontrolü.

Elde edilen

\frac{2 \sum X_i}{\theta}

fonksiyonu örneklem verisini ve sadece ilgilenilen parametreyi (

\theta

) içerir; ayrıca dağılımı (

\chi^2_{2n}

)

\theta

'dan tamamen bağımsızdır.

Geçerli bir güven aralığı sınırları hesaplayabilmek için kritik değerlerin parametresiz tablolardan okunabilmesi şarttır.

Key Concept

Üstel dağılımda kitle ortalaması için güven aralığı çıkarılırken, toplam istatistiğinin uygun bir sabit ile çarpılarak parametreden bağımsız

\chi^2

(Ki-kare) dağılımına dönüştürülmesi gerekir.

Estimated Time:1m 30s

Question 18Question →

$X_1, X_2, \ldots, X_n$ rastgele örneklemi, ortalaması $\mu$ ve varyansı $\sigma^2$ olan normal dağılımdan alınmıştır. $\mu$ ve $\sigma^2$ bilinmeyen parametrelerdir.

Aralık tahmini teorisinde, örneklem değerleri ve bilinmeyen parametre(ler)i içeren, ancak olasılık dağılımı bilinmeyen parametre(ler)e bağlı olmayan fonksiyonlara 'pivot (eksen) fonksiyonu' denir.

Buna göre, aşağıda verilen istatistiklerden hangisi $\mu$ veya $\sigma^2$ parametreleri için geçerli bir pivot fonksiyonu değildir?

(Burada $\bar{X}$ örneklem ortalamasını, $S^2$ ise örneklem varyansını göstermektedir.)

\frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu)}{S}

\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}

\frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2}{\sigma^2}

\frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu)}{\sigma^2}

\frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu)}{\sigma}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu)}{\sigma^2}$

Answer

\frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu)}{\sigma^2}

istatistiği geçerli bir pivot fonksiyonu değildir çünkü olasılık dağılımı halen bilinmeyen

\sigma^2

parametresine bağlıdır.

Doğru cevap olan istatistik

\frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu)}{\sigma^2}

'dir. Bilindiği üzere,

\frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu)}{\sigma}

ifadesi standart normal dağılıma (

N(0,1)

) sahiptir. Eğer bu ifadeyi tekrar

\sigma

'ya bölersek, varyansı

1/\sigma^2

olan yeni bir değişken elde ederiz. Yani bu istatistik

N(0, \frac{1}{\sigma^2})

dağılımına uyar. Olasılık dağılımı halen bilinmeyen

\sigma^2

parametresine bağlı olduğu için, bu ifade pivot (eksen) fonksiyonu tanımını sağlamaz ve güven aralığı eldesinde kullanılamaz.

Step-by-Step Solution

1

Pivot fonksiyonunun tanımını hatırla.

Dağılımı bilinmeyen kitle parametrelerine bağlı olmayan istatistikler pivot fonksiyondur.

Geçerli bir güven aralığı oluşturabilmek için hesaplanan olasılık sınırlarının parametreden bağımsız olması zorunludur.

2

Seçeneklerdeki istatistiklerin dağılımlarını belirle.

\bar{X}

ve

S^2

'nin örneklem dağılımlarından yola çıkarak Z, Student-t ve Ki-kare dönüşümleri incelenir.

Dağılımı standart (Z, t, Ki-kare) olanlar pivot fonksiyonu olma şartını sağlar.

3

Doğru seçenekteki istatistiğin parametreye bağlılık durumunu kontrol et.

\frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu)}{\sigma^2}

istatistiğinin varyansı hesaplandığında

1/\sigma^2

bulunur. Dolayısıyla bu ifade

N(0, \frac{1}{\sigma^2})

dağılımına sahiptir.

Dağılım varyansı halen bilinmeyen

\sigma^2

parametresini içerdiği için bu ifade aralık tahmininde kullanılacak bir pivot fonksiyonu olamaz.

Key Concept

Pivot (Eksen) Fonksiyonu Dağılım Özelliği

Question 19Question →

Bir araştırmacı, kapalı bir kaptaki ideal gaz moleküllerinin hızlarını modellemek için Maxwell-Boltzmann dağılımını kullanmaktadır. Moleküllerin hızlarını temsil eden $X_1, X_2, \ldots, X_n$ rastgele örneklemi, olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x; \theta) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{x^2}{\theta^3} e^{-\frac{x^2}{2\theta^2}}, \quad x > 0

olan dağılımdan çekilmiştir. Burada $\theta > 0$ bilinmeyen bir ölçek parametresidir.

Araştırmacı, $\theta^2$ parametresi için bir güven aralığı oluşturmak amacıyla uygun bir eksen (pivot) fonksiyonu aramaktadır.

Buna göre, aşağıda verilen istatistiklerden ( $Q$ ) hangisi $\theta^2$ için uygun bir eksen fonksiyonudur ve tam dağılımı doğru verilmiştir?

Q = \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^n X_i^2 \sim \chi^2_{3n}

Q = \sum_{i=1}^n X_i^2 \sim \text{Gamma}\left(\frac{3n}{2}, 2\theta^2\right)

Q = \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^n X_i^2 \sim \chi^2_{n}

Q = \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^n X_i^2 \sim \chi^2_{2n}

Q = \frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \theta)}{S} \sim t_{n-1}

Show answer & explanation

Answer: $Q = \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^n X_i^2 \sim \chi^2_{3n}$

Answer

İstatistiğin

\theta^2

'ye bölünmüş kareler toplamı olduğu ve

\chi^2_{3n}

dağılımına uyduğu seçenektir.

Bir fonksiyonun eksen (pivot) fonksiyonu olabilmesi için dağılımının bilinmeyen parametreden arındırılmış olması gerekir. Maxwell-Boltzmann dağılımında

y = x^2/\theta^2

dönüşümü yapıldığında Jacobian ile birlikte

Y \sim \chi^2_3

elde edilir. Örneklem

n

bağımsız birimden oluştuğundan, bu değişkenlerin toplamı

\chi^2_{3n}

dağılımına sahip olur. İfade

\theta^2

'yi içermekte ve dağılımı ondan bağımsız olmaktadır, bu nedenle doğru eksen fonksiyonudur.

Step-by-Step Solution

1

Eksen (pivot) fonksiyonunun tanımını hatırlamak.

Eksen fonksiyonu

Q(X, \theta)

, bilinmeyen parametreyi içermeli ancak sahip olduğu olasılık dağılımı bu parametreden tamamen bağımsız olmalıdır.

Seçenekleri analiz etmeden önce doğru stratejiyi kurgulamak.

2

Örneklemdeki her bir

X_i

için

Y = X^2/\theta^2

dönüşümünü uygulamak ve Jacobian bulmak.

y = x^2/\theta^2 \implies x = \theta \sqrt{y}

ve türevden

|dx/dy| = \frac{\theta}{2\sqrt{y}}

elde edilir.

Değişken dönüşümü tekniğiyle, parametreden arındırılmış yeni bir dağılım elde edip edemeyeceğimizi görmek.

3

Y

'nin olasılık yoğunluk fonksiyonunu

f_Y(y) = f_X(x) |dx/dy|

formülüyle hesaplamak.

f_Y(y) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{\theta^2 y}{\theta^3} e^{-y/2} \frac{\theta}{2\sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} y^{1/2} e^{-y/2}

. Bu,

3

serbestlik dereceli Ki-kare (

\chi^2_3

) dağılımının ta kendisidir.

Her bir gözlemin dönüşüm sonrası hangi tam dağılıma uyduğunu kanıtlamak.

4

Tüm örneklemi kapsayan toplam istatistiğinin dağılımını belirlemek.

Bağımsız Ki-kare değişkenlerinin toplamı, serbestlik derecelerinin toplamına eşittir. Bu nedenle

\sum Y_i = \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^n X_i^2 \sim \chi^2_{3n}

olur.

Örneklemin tümüne dayanan nihai eksen fonksiyonunu türetmek.

Key Concept

Eksen (Pivot) Fonksiyonu Yöntemi ve Dönüşümler

Question 20Question →

Bir sigorta şirketinde, hasar taleplerinin büyüklüğünü (bin TL cinsinden) modellemek üzere aşağıdaki dağılım varsayımı yapılmıştır:

f(x; \theta) = \frac{\theta}{x^{\theta+1}}, \quad x > 1, \quad \theta > 0

Geçmiş hasar kayıtlarından seçilen $n$ hacimli bağımsız ve aynı dağılımlı $X_1, X_2, \ldots, X_n$ örneklemi kullanılarak, bilinmeyen $\theta$ parametresine yönelik bir güven aralığı oluşturulacaktır.

Buna göre, güven sınırlarının türetilmesinde eksen (pivot) fonksiyonu olarak kullanılabilecek istatistik ve sahip olduğu olasılık dağılımı aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

2\theta \sum_{i=1}^n \ln(X_i) \sim \chi^2_{(2n)}

\theta \sum_{i=1}^n \ln(X_i) \sim \chi^2_{(n)}

\frac{2}{\theta} \sum_{i=1}^n \ln(X_i) \sim \chi^2_{(2n)}

2\theta \sum_{i=1}^n X_i \sim \chi^2_{(2n)}

2 \sum_{i=1}^n \ln(X_i) \sim \chi^2_{(2n)}

Show answer & explanation

Answer: $2\theta \sum_{i=1}^n \ln(X_i) \sim \chi^2_{(2n)}$

Answer

2\theta \sum_{i=1}^n \ln(X_i) \sim \chi^2_{(2n)}

şeklinde verilen eksen (pivot) fonksiyonu ve dağılımıdır.

X_i

değişkenleri Pareto dağılımına sahipken,

Y_i = \ln(X_i)

dönüşümü yapıldığında değişkenler

Y_i \sim \text{Üstel}(\theta)

dağılımına dönüşür. Bağımsız üstel dağılımların toplamı

\text{Gamma}(n, \theta)

dağılımı verir. Eksen fonksiyonunun temel kuralı, olasılık dağılımının bilinmeyen parametreden tamamen bağımsız olmasıdır. Bu istatistik

2\theta

ile çarpıldığında, yeni dağılım

\text{Gamma}(n, 1/2)

yapısına ulaşır. İstatistik teorisinde

\text{Gamma}(k/2, 1/2)

dağılımı,

k

serbestlik dereceli Ki-kare (

\chi^2_k

) dağılımına eştir. Dolayısıyla, dağılımı parametreden arınmış ve

\chi^2_{(2n)}

olan bu yapı, kusursuz bir eksen fonksiyonudur.

Step-by-Step Solution

1

Y_i = \ln(X_i)

dönüşümünü yaparak her bir gözlemin yeni dağılımını belirlemek.

X_i \sim \text{Pareto}(1, \theta)

olduğundan,

Y_i \sim \text{Üstel}(\theta)

dağılımına sahip olduğu görülür.

Pareto dağılımının parametresini üstel formda izole ederek toplamsal işlemlere uygun hale getirmek.

2

Dönüştürülmüş bağımsız değişkenlerin toplamının dağılımını bulmak.

\sum_{i=1}^n \ln(X_i) \sim \text{Gamma}(n, \theta)

elde edilir.

Bağımsız üstel dağılımlı rassal değişkenlerin toplamı Gamma dağılımı gösterir.

3

Dağılımı bilinmeyen

\theta

parametresinden bağımsız kılacak katsayıyı uygulamak.

Toplam istatistiği

2\theta

ile çarpıldığında dağılım

\text{Gamma}(n, 1/2)

formuna, yani tam olarak

2n

serbestlik dereceli Ki-kare (

\chi^2_{(2n)}

) dağılımına dönüşür.

Bir istatistiğin eksen (pivot) fonksiyonu olabilmesi için olasılık dağılımının kitle parametrelerinden tamamen bağımsız olması gerekir.

Key Concept

Bir fonksiyonun aralık tahmini amacıyla pivot (eksen) fonksiyonu olarak kullanılabilmesi için, fonksiyonun kendisinin bilinmeyen parametreyi içermesi ancak olasılık dağılımının bu parametreden tamamen bağımsız olması şarttır.

Pivot (Eksen) Fonksiyonu Yöntemi

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes