Bir kitleden alınan n birimli X_1, X_2, \dots, X_n rassal örnekleminin olasılık yoğunluk f… — KPSS İstatistik

Bir kitleden alınan

n

birimli

X_1, X_2, \dots, X_n

rassal örnekleminin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

\theta > 0

olmak üzere

f(x; \theta) = \frac{2x}{\theta^2}, \quad 0 < x < \theta

olarak verilmiştir. Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre

\theta

parametresi için yeterli istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

Yeterli istatistik, örneklem maksimumu olan

X_{(n)}

değeridir.

Olabilirlik fonksiyonu düzenlendiğinde, parametre olan

\theta

ile gözlemlerin etkileşimi sadece

I(x_{(n)} < \theta)

1/\theta^{2n}

terimleri üzerinden gerçekleşmektedir. Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi gereği, parametreye bağlı olan bu kısmın sadece

x_{(n)}

istatistiğine bağlı olması, örneklem maksimumunun yeterli istatistik olduğunu kanıtlar.

Olabilirlik fonksiyonunu yazın.

L(\theta) = \prod_{i=1}^n \frac{2x_i}{\theta^2} I_{(0, \theta)}(x_i) = \frac{2^n}{\theta^{2n}} (\prod x_i) \prod I_{(0, \theta)}(x_i)

Yeterlilik analizi için tüm gözlemleri içeren ortak dağılım fonksiyonu oluşturulmalıdır.

Gösterge fonksiyonlarını örneklem istatistikleri cinsinden ifade edin.

\prod_{i=1}^n I_{(0, \theta)}(x_i) = I_{(0 < x_{(1)} < x_{(n)} < \theta)} = I_{(x_{(n)} < \theta)} \cdot I_{(x_{(1)} > 0)}

Tüm gözlemlerin üst sınırın altında kalması, en büyük gözlemin (maksimum) bu sınırın altında kalması demektir.

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni uygulayın (

L(\theta) = g(T(x), \theta) h(x)

g(x_{(n)}, \theta) = \frac{1}{\theta^{2n}} I_{(x_{(n)} < \theta)}

h(x) = 2^n (\prod x_i) I_{(x_{(1)} > 0)}

Fonksiyon, parametreye ve yalnızca maksimum değerine bağlı olan bir kısım ile sadece gözlemlere bağlı olan bir kısma ayrılabilmektedir.

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ve Destek Kümesi Parametreye Bağlı Dağılımlar

Estimated Time:1m 15s

Question