Bir elektronik şans oyununda sistem, her defasında 1 ile 25 arasındaki (1 ve 25 dâhil) tam… — KPSS İstatistik

Bir elektronik şans oyununda sistem, her defasında $1$ ile $25$ arasındaki ( $1$ ve $25$ dâhil) tam sayılardan birini eşit olasılıkla rastgele seçmektedir. Seçilen bu sayı $X$ rastgele değişkeni ile ifade edilmektedir.

Oyunun kuralları gereği, oyuncunun kazanacağı puan $Y = 2X - 5$ eşitliği ile tanımlanan $Y$ rastgele değişkenine göre belirlenmektedir.

Buna göre, $Y$ rastgele değişkeninin varyansı (değişintisi) kaçtır?

A
52
B
104
208Answer
D
233
E
312

Answer

Y

rastgele değişkeninin varyansı 208'dir.

Kesikli düzgün dağılımda,

1

'den

n

'e kadar değer alan bir değişkenin varyansı

(n^2 - 1) / 12

formülü ile elde edilir. Soruda

n=25

olduğundan

Var(X) = (625 - 1) / 12 = 52

bulunur.

Y = 2X - 5

eşitliğinin varyansını bulmak için

Var(aX + b) = a^2 \cdot Var(X)

özelliğinden faydalanılır. Buradan

Var(Y) = 2^2 \cdot 52 = 4 \cdot 52 = 208

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

X

rastgele değişkeninin dağılımını ve parametrelerini belirleme.

X

1

ile

25

arasındaki ardışık tam sayıları eşit olasılıkla aldığı için Kesikli Düzgün Dağılıma (Discrete Uniform) sahiptir ve kümenin eleman sayısı

n = 25

'tir.

Varyans hesabında kullanılması gereken doğru formülü seçebilmek için dağılımın türünün ve parametrelerinin tespit edilmesi gerekir.

Kesikli düzgün dağılımın varyans formülünü kullanarak

X

'in varyansını hesaplama.

Var(X) = \frac{n^2 - 1}{12} = \frac{25^2 - 1}{12} = \frac{625 - 1}{12} = \frac{624}{12} = 52

olarak bulunur.

Y

'nin varyansına ulaşabilmek için temel değişken olan

X

'in varyansının bilinmesi zorunludur.

Y = 2X - 5

eşitliğine varyansın doğrusal dönüşüm özelliklerini uygulama.

Var(Y) = Var(2X - 5) = 2^2 \cdot Var(X) = 4 \cdot 52 = 208

elde edilir.

Varyans özelliklerine göre

Var(aX + b) = a^2 \cdot Var(X)

eşitliği geçerlidir. Sabit terim (-5) varyansı etkilemezken, değişkenin katsayısının (2) karesi alınarak varyans büyütülür.

Key Concept

Kesikli Düzgün Dağılımın Varyansı ve Varyansın Doğrusal Dönüşüm Özellikleri

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic