Examkin

Question

Difficulty: Medium(M/M/1/K) Tek Kanallı ve Sonlu Kapasiteli Model

Bir oto yıkama istasyonunda tek bir yıkama kanalı bulunmaktadır. İstasyonun fiziksel kapasitesi, yıkama bandındaki araç dahil toplam 33 araçla sınırlıdır. Araçlar istasyona saatte ortalama 44 adet olacak şekilde Poisson dağılımına uygun gelmekte, bir aracın yıkanması ise ortalama 1515 dakika sürmekte ve bu süre üstel dağılım göstermektedir. Buna göre, istasyona girmeyi başaran bir aracın sistemde (yıkama ve bekleme dahil) geçirdiği ortalama süre (WW) kaç dakikadır?

  1. A
    15
  2. B
    22,5
  3. 30Answer
  4. D
    45
  5. E
    60

Answer

İstasyona girmeyi başaran bir aracın sistemde geçirdiği ortalama süre 30 dakikadır.
Verilen problemde varış hızı (λ=4λ = 4) ve hizmet hızı (μ=4μ = 4) eşit olduğu için trafik yoğunluğu ρ=1ρ = 1 olur. Bu özel durumda, sistemin tam kapasite ile dolu olma olasılığı P3=1/(3+1)=0,25P_3 = 1/(3+1) = 0,25 olarak bulunur. Sisteme girmeyi başaran etkin varış hızı λeff=4×(1−0,25)=3λ_{eff} = 4 \times (1 - 0,25) = 3 araç/saat'tir. ρ=1ρ=1 durumunda sistemdeki ortalama araç sayısı formülü L=K/2L = K/2 olduğundan L=1,5L = 1,5 bulunur. Little Teoremi (W=L/λeffW = L / λ_{eff}) uygulandığında ortalama süre 1,5/3=0,51,5 / 3 = 0,5 saat, yani 30 dakika olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Varış ve hizmet hızlarını aynı birim cinsinden belirleyin.
λ=4\lambda = 4 araç/saat, μ=60/15=4\mu = 60 / 15 = 4 araç/saat.
Hesaplamaların tutarlı olması için birimlerin (saat) uyumlu olması gerekir.
2
Trafikyog˘unlug˘unu(ρ)hesaplayın.Trafik yoğunluğunu (\rho) hesaplayın.
ρ=λ/μ=4/4=1\rho = \lambda / \mu = 4 / 4 = 1.
Modelin davranışını belirlemek için varış ve hizmet hızlarının oranı gereklidir.
3
Sistemin tam dolu olma (kaybedilme) olasılığını (PKP_K) hesaplayın.
ρ=1\rho = 1 olduğu için PK=1/(K+1)=1/(3+1)=0,25P_K = 1 / (K + 1) = 1 / (3 + 1) = 0,25.
Sonlu kapasiteli modellerde ρ=1\rho=1 durumunda tüm durum olasılıkları eşittir.
4
Etkin varış hızını (λeff\lambda_{eff}) hesaplayın.
λeff=λ(1−PK)=4(1−0,25)=3\lambda_{eff} = \lambda(1 - P_K) = 4(1 - 0,25) = 3 araç/saat.
Sadece sisteme girmeyi başaran araçlar sistemde zaman geçirir.
5
Sistemdeki ortalama araç sayısını (LL) hesaplayın.
ρ=1\rho = 1 olduğu için L=K/2=3/2=1,5L = K / 2 = 3 / 2 = 1,5.
ρ=1\rho=1 durumunda sistemdeki beklenen araç sayısı kapasitenin yarısına eşittir.
6
Little Teoremi'ni kullanarak ortalama süreyi (WW) bulun.
W=L/λeff=1,5/3=0,5W = L / \lambda_{eff} = 1,5 / 3 = 0,5 saat = 30 dakika.
Sistemdeki toplam süre, ortalama araç sayısının etkin varış hızına oranıdır.

Key Concept

(M/M/1/K) Modeli ve Trafik Yoğunluğu 1 Durumu

Alternative Method

Sistem süresi W=Wq+1/μW = W_q + 1/\mu olarak da hesaplanabilir. Wq=Lq/λeffW_q = L_q / \lambda_{eff} ve ρ=1\rho=1 için Lq=[K(K−1)]/[2(K+1)]=[3(2)]/[2(4)]=0,75L_q = [K(K-1)] / [2(K+1)] = [3(2)] / [2(4)] = 0,75. Buradan Wq=0,75/3=0,25W_q = 0,75 / 3 = 0,25 saat (15 dk). W=15+15=30W = 15 + 15 = 30 dakika.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

(M/M/1/K) Tek Kanallı ve Sonlu Kapasiteli Model

More questions from this topic