Examkin

Question

Difficulty: EasyEn Küçük Kareler Yöntemi (Least Squares Estimation)

Bir istatistikçi, YY bağımlı değişkeni ile XX bağımsız değişkeni arasındaki ilişkiyi orijinden geçen Y=βX+ϵY = \beta X + \epsilon doğrusal modeli ile modellemektedir. Yapılan iki gözlem sonucunda elde edilen veriler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Gözlem NoXXYY
112
234

Buna göre, En Küçük Kareler (EKK) yöntemi kullanılarak hesaplanan β^\hat{\beta} parametre tahmin edicisinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    0,7
  2. 1,4Answer
  3. C
    1,5
  4. D
    2,0
  5. E
    3,0

Answer

En Küçük Kareler yöntemiyle hesaplanan parametre tahmin edicisinin değeri 1,4'tür.
En Küçük Kareler (EKK) yöntemi, kalıntı kareler toplamını minimize eden parametre değerini bulur. Orijinden geçen Y=βXY = \beta X modelinde bu çözüm β^=∑XiYi∑Xi2\hat{\beta} = \frac{\sum X_i Y_i}{\sum X_i^2} formülüne indirgenir. Verilen veri setinde çarpımların toplamı 14, karelerin toplamı 10 olduğu için tahmin edici 1,4 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Orijinden geçen basit doğrusal regresyon modeli için EKK amaç fonksiyonunu belirle.
S(β)=∑i=1n(Yi−βXi)2S(\beta) = \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \beta X_i)^2
EKK yöntemi, gözlenen değerler ile modelden tahmin edilen değerler arasındaki hata kareler toplamını minimize etmeyi amaçlar.
2
Amaç fonksiyonunun β\beta parametresine göre türevini alarak sıfıra eşitle (Normal Denklem).
−2∑Xi(Yi−βXi)=0⇒∑XiYi=β∑Xi2-2 \sum X_i(Y_i - \beta X_i) = 0 \Rightarrow \sum X_i Y_i = \beta \sum X_i^2
Minimizasyon problemini çözmek için birinci türev şartı kullanılarak normal denklem elde edilir.
3
Elde edilen verileri normal denklemde yerine koyarak β^\hat{\beta} değerini hesapla.
∑XiYi=(1×2)+(3×4)=14\sum X_i Y_i = (1 \times 2) + (3 \times 4) = 14 ve ∑Xi2=12+32=10\sum X_i^2 = 1^2 + 3^2 = 10. Buradan β^=14/10=1,4\hat{\beta} = 14 / 10 = 1,4 bulunur.
Tablodaki XX ve YY değerlerinin çarpımları ile XX karelerinin toplamı hesaplanarak oranlanır.

Key Concept

Orijinden geçen basit doğrusal regresyonda En Küçük Kareler (EKK) tahmini.

Alternative Method

Normal denklemleri yazmak yerine, seçenekler arasından her bir β\beta değeri için kalıntı kareler toplamını [e12+e22e_1^2 + e_2^2] manuel olarak hesaplayıp en küçüğünü seçebilirsiniz. Örneğin 1,4 için (2−1,4)2+(4−4,2)2=0,36+0,04=0,40(2-1,4)^2 + (4-4,2)^2 = 0,36 + 0,04 = 0,40 çıkarken, 1,5 için (2−1,5)2+(4−4,5)2=0,25+0,25=0,50(2-1,5)^2 + (4-4,5)^2 = 0,25 + 0,25 = 0,50 çıkar.
Estimated Time:1m 0s
Rate this question

Topics

En Küçük Kareler Yöntemi (Least Squares Estimation)

More questions from this topic