Bir işletmenin iki farklı şubesinin günlük kâr/zarar durumları (bin TL cinsinden) bağımsız… — KPSS İstatistik

Bir işletmenin iki farklı şubesinin günlük kâr/zarar durumları (bin TL cinsinden) bağımsız $X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. Bu değişkenlerin moment çıkaran fonksiyonları (MGF) sırasıyla,

M_X(t) = e^{10t + 2t^2}

M_Y(t) = e^{15t + \frac{9}{2}t^2}

olarak verilmiştir.

İşletmenin günlük net finansal durumu $W = X - 2Y + 5$ dönüşümü ile hesaplanmaktadır.

Buna göre, $W$ rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu $M_W(t)$ ve varyansı aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

$M_W(t) = e^{-15t + 20t^2}$ ve $Varyans(W) = 40$ Answer
B
$M_W(t) = e^{-15t + 20t^2}$ ve $Varyans(W) = 20$
C
$M_W(t) = e^{-15t + 11t^2}$ ve $Varyans(W) = 22$
D
$M_W(t) = e^{-20t + 20t^2}$ ve $Varyans(W) = 40$
E
$M_W(t) = e^{-15t + 8t^2}$ ve $Varyans(W) = 16$

Answer

Doğru seçenek

M_W(t) = e^{-15t + 20t^2}

Varyans(W) = 40

olan seçenektir.

W = X - 2Y + 5

doğrusal dönüşümünün moment çıkaran fonksiyonu MGF özelliklerinden

M_W(t) = e^{5t} M_X(t) M_Y(-2t)

olarak yazılır. İlgili fonksiyonlar yerlerine konulduğunda

e^{5t} \cdot e^{10t + 2t^2} \cdot e^{-30t + 18t^2} = e^{-15t + 20t^2}

elde edilir. Normal dağılım MGF'si

e^{\mu t + \sigma^2 t^2 / 2}

formatında olduğundan

t^2

'nin katsayısı olan

20

, varyansın yarısına (

\frac{\sigma^2}{2}

) eşittir. Buradan varyans

40

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

X

Y

'nin moment çıkaran fonksiyonlarından parametreleri belirlemek.

MGF formülünden

X \sim N(10, 4)

Y \sim N(15, 9)

olduğu görülür.

Normal dağılımın MGF'si genel formda

M(t) = e^{\mu t + \frac{1}{2}\sigma^2 t^2}

şeklindedir.

W = X - 2Y + 5

dönüşümü için MGF kuralını uygulamak.

M_W(t) = E[e^{t(X - 2Y + 5)}] = e^{5t} M_X(t) M_Y(-2t)

eşitliği elde edilir.

Bağımsız değişkenlerin toplamının MGF'si fonksiyonların çarpımına eşittir ve lineer katsayılar

t

'nin çarpanı olur.

M_Y(-2t)

ifadesinin açık halini hesaplamak.

M_Y(-2t) = e^{15(-2t) + \frac{9}{2}(-2t)^2} = e^{-30t + 18t^2}

bulunur.

Değişken bir katsayıyla çarpıldığında MGF'deki tüm

t

'ler o katsayıyla çarpılmış haliyle yazılır.

Tüm çarpanları birleştirerek

M_W(t)

'yi bulmak.

M_W(t) = e^{5t} \cdot e^{10t + 2t^2} \cdot e^{-30t + 18t^2} = e^{-15t + 20t^2}

elde edilir.

Üslü sayılarda çarpma işleminde tabanlar aynı iken üsler toplanır.

Elde edilen

M_W(t)

üzerinden

W

'nin varyansını çekmek.

t^2

'nin katsayısı

\frac{1}{2}\sigma_W^2 = 20

olduğundan,

\sigma_W^2 = 40

hesaplanır.

Normal dağılımın moment çıkaran fonksiyonunda

t^2

'nin önündeki sayı varyansın yarısına eşittir.

Key Concept

Bağımsız Rastgele Değişkenlerin Doğrusal Dönüşümlerinde MGF Yöntemi

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics