Bir pazar araştırmacısı, tüketicilerin iki farklı ürün özelliğine (X_1 ve X_2) verdikleri … — KPSS İstatistik

Bir pazar araştırmacısı, tüketicilerin iki farklı ürün özelliğine ( $X_1$ ve $X_2$ ) verdikleri puanları içeren bir veri setine Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamaktadır. Veri setindeki değişkenlerin örneklem ortalamaları sırasıyla $\bar{X}_1 = 40$ ve $\bar{X}_2 = 60$ olarak hesaplanmıştır.

Analiz, değişkenlerin kovaryans matrisi üzerinden gerçekleştirilmiş olup, elde edilen en büyük özdeğer $\lambda_1 = 50$ ve bu özdeğere karşılık gelen normalize edilmiş (birim uzunluktaki) özvektör $e_1 = \begin{bmatrix} 0.8 \\ 0.6 \end{bmatrix}$ olarak bulunmuştur.

Veri setinden rastgele seçilen bir $i$ . tüketicinin ürün özelliklerine verdiği orijinal puanlar $X_{1i} = 45$ ve $X_{2i} = 50$ şeklindedir.

Buna göre, bu tüketici için hesaplanacak birinci temel bileşen skoru ( $Y_{1i}$ ) ve tüm veri seti üzerinden hesaplanan birinci temel bileşen skorlarının örneklem varyansı ( $Var(Y_1)$ ) sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

$-2$ ve $50$ Answer
B
$66$ ve $50$
C
$-2$ ve $1$
D
$66$ ve $1$
E
$2$ ve $50$

Answer

Bu tüketici için birinci temel bileşen skoru

-2

ve birinci temel bileşen skorlarının örneklem varyansı

50

'dir.

Temel bileşen skoru hesaplanırken orijinal veriler değişken ortalamalarından çıkarılarak merkezcilleştirilmelidir. Merkezcilleştirilmiş değerler olan

5

-10

, özvektör elemanları (

0.8

0.6

) ile çarpılıp toplandığında skor

-2

olarak elde edilir. Temel Bileşenler Analizi teorisine göre, herhangi bir temel bileşenin örneklem varyansı doğrudan o bileşene ait özdeğere (

\lambda_1 = 50

) eşittir.

Step-by-Step Solution

Verilen ham gözlem değerlerini değişken ortalamalarından çıkararak merkezcilleştiriniz.

x_{1i} = X_{1i} - \bar{X}_1 = 45 - 40 = 5

x_{2i} = X_{2i} - \bar{X}_2 = 50 - 60 = -10

Kovaryans matrisi üzerinden yapılan Temel Bileşenler Analizinde, temel bileşen skorlarının hesaplanabilmesi için verilerin ortalamadan sapma formunda (merkezcilleştirilmiş) olması gerekir.

Merkezcilleştirilmiş veri vektörü ile birinci özvektörü çarparak birinci temel bileşen skorunu (

Y_{1i}

) hesaplayınız.

Y_{1i} = e_{11}x_{1i} + e_{12}x_{2i} = 0.8 \times 5 + 0.6 \times (-10) = 4 - 6 = -2

Temel bileşen skorları, orijinal (merkezcilleştirilmiş) değişkenlerin özvektör katsayıları kullanılarak oluşturulan doğrusal kombinasyonudur.

Birinci temel bileşen skorlarının örneklem varyansını teorik özelliklerine dayanarak belirleyiniz.

Var(Y_1) = \lambda_1 = 50

TBA'nın temel matematiksel özelliklerinden biri,

k

. temel bileşenin varyansının tam olarak kovaryans matrisinin

k

. en büyük özdeğerine eşit olmasıdır.

Key Concept

Temel bileşen skorlarının hesaplanmasında merkezcilleştirme şartı ve skor varyanslarının özdeğerlere eşitliği

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic